Quebrando o modelo binomial para avaliar uma opção

No mundo financeiro, os modelos de avaliação de opções binomiais e Black-Scholes são dois dos conceitos mais importantes da teoria financeira moderna. Ambos são usados ​​para avaliar uma opção e cada um tem suas próprias vantagens e desvantagens.

Algumas das vantagens básicas do uso do modelo binomial são:

• uma visualização de vários períodos
• transparência
• capacidade de incorporar probabilidades

Neste artigo, exploraremos as vantagens de usar o modelo binomial em vez do modelo Black-Scholes e forneceremos algumas etapas básicas para desenvolver o modelo e explicar como ele é usado.

Visualização de vários períodos

O modelo binomial fornece uma visão de vários períodos do preço do ativo subjacente, bem como do preço da opção. Em contraste com o modelo Black-Scholes, que fornece um resultado numérico com base em entradas, o modelo binomial permite o cálculo do ativo e a opção por vários períodos, juntamente com a faixa de resultados possíveis para cada período (veja abaixo).

A vantagem dessa visão de vários períodos é que o usuário pode visualizar a alteração no preço dos ativos de período para período e avaliar a opção com base em decisões tomadas em diferentes momentos no tempo. Para uma opção baseada nos EUA, que pode ser exercida a qualquer momento antes da data de vencimento, o modelo binomial pode fornecer informações sobre quando o exercício da opção pode ser aconselhável e quando deve ser mantido por períodos mais longos. Observando a árvore binomial de valores, um profissional pode determinar com antecedência quando uma decisão sobre um exercício pode ocorrer. Se a opção tiver um valor positivo, existe a possibilidade de exercício, enquanto que, se a opção tiver um valor menor que zero, ela deve ser mantida por períodos mais longos.

Transparência

Intimamente relacionada à revisão de vários períodos está a capacidade do modelo binomial de fornecer transparência ao valor subjacente do ativo e a opção à medida que o tempo avança. O modelo Black-Scholes possui cinco entradas:

1. A taxa livre de risco
2. O preço de exercício
3. O preço atual do ativo
4. Tempo até o vencimento
5. A volatilidade implícita do preço do ativo

Quando esses pontos de dados são inseridos em um modelo Black-Scholes, o modelo calcula um valor para a opção, mas os impactos desses fatores não são revelados periodicamente. Com o modelo binomial, um trader pode ver a mudança no preço do ativo subjacente de período para período e a mudança correspondente no preço da opção.

Incorporando Probabilidades

O método básico de cálculo do modelo de opção binomial é usar a mesma probabilidade a cada período para obter sucesso e fracasso até que a opção expire. No entanto, um comerciante pode incorporar probabilidades diferentes para cada período com base em novas informações obtidas com o passar do tempo.

Por exemplo, pode haver uma chance de 50/50 de que o preço do ativo subjacente possa aumentar ou diminuir em 30% em um período. No segundo período, no entanto, a probabilidade de o preço do ativo subjacente aumentar pode aumentar para 70/30. Por exemplo, se um investidor está avaliando um poço de petróleo, esse investidor não tem certeza de qual é o valor desse poço de petróleo, mas há uma chance de 50/50 de que o preço suba. Se os preços do petróleo subirem no Período 1, tornando o petróleo bem mais valioso e os fundamentos do mercado apontarem para aumentos contínuos nos preços, a probabilidade de maior valorização do preço poderá agora ser de 70%. O modelo binomial permite essa flexibilidade; o modelo Black-Scholes não.

Desenvolvendo o modelo

O modelo binomial mais simples terá dois retornos esperados cujas probabilidades chegam a 100%. No nosso exemplo, existem dois resultados possíveis para o poço de petróleo em cada momento. Uma versão mais complexa pode ter três ou mais resultados diferentes, cada um com uma probabilidade de ocorrência.

Para calcular os retornos por período a partir do tempo zero (agora), devemos determinar o valor do ativo subjacente daqui a um período. Neste exemplo, assumimos o seguinte:

• Preço do ativo subjacente (P): US $ 500
• Preço de exercício da opção de compra (K): US $ 600
• Taxa livre de risco para o período: 1%
• Mudança de preço a cada período: 30% para cima ou para baixo

O preço do ativo subjacente é de US $ 500 e, no período 1, pode valer US $ 650 ou US $ 350. Isso seria o equivalente a um aumento ou diminuição de 30% em um período. Como o preço de exercício das opções de compra que detemos é de US $ 600, se o ativo subjacente for inferior a US $ 600, o valor da opção de compra será zero. Por outro lado, se o ativo subjacente exceder o preço de exercício de US $ 600, o valor da opção de compra seria a diferença entre o preço do ativo subjacente e o preço de exercício. A fórmula para este cálculo é [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] em que: P = Preço do ativo subjacenteK = Preço de exercício da opção de compra \ begin {alinhado} e \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \\ & \ textbf {where:} \\ & P = \ text {Preço do ativo subjacente} \\ & K = \ text {Preço de exercício da opção de compra} \\ \ end {aligned} max [(P-K), 0] em que: P = Preço do ativo subjacenteK = Preço de exercício da opção de compra

Suponha que haja 50% de chance de subir e 50% de chance de descer. Usando os valores do período 1 como exemplo, isso é calculado como

max [($ 650 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ begin {alinhado} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0, 5+ \ max {\ left [\ left (\ $ 350 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0, 5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {align}} max [($ 650 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350 - $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25

Para obter o valor atual da opção de compra, precisamos descontar os US $ 25 no Período 1 de volta ao Período 0, que é

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ esquerda (1 + 1 \% \ direita) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

Agora você pode ver que, se as probabilidades forem alteradas, o valor esperado do ativo subjacente também será alterado. Se a probabilidade deve ser alterada, ela também pode ser alterada para cada período subseqüente e não precisa necessariamente permanecer a mesma por todo o tempo.

O modelo binomial pode ser estendido facilmente para vários períodos. Embora o modelo Black-Scholes possa calcular o resultado de uma data de vencimento estendida, o modelo binomial estende os pontos de decisão para vários períodos.

Usos para o modelo binomial

Além de ser usado como método para calcular o valor de uma opção, o modelo binomial também pode ser usado para projetos ou investimentos com alto grau de incerteza, decisões de orçamento de capital e alocação de recursos e projetos com períodos múltiplos ou opção incorporada para continuar ou abandonar o projeto em determinados momentos.

Um exemplo simples é um projeto que envolve a perfuração de petróleo. A incerteza desse tipo de projeto se a terra que está sendo perfurada tem algum óleo, a quantidade de óleo que pode ser perfurada, se o óleo for encontrado e o preço pelo qual o óleo pode ser vendido depois de extraído.

O modelo de opção binomial pode auxiliar na tomada de decisões em cada ponto do projeto de perfuração de petróleo. Por exemplo, suponha que decidamos perfurar, mas o poço de petróleo só será lucrativo se encontrarmos petróleo suficiente e o preço do petróleo exceder uma certa quantia. Levará um período inteiro para determinar a quantidade de petróleo que podemos extrair, bem como o preço do petróleo naquele momento. Após o primeiro período (um ano, por exemplo), podemos decidir, com base nesses dois pontos de dados, se continuaremos a detalhar ou abandonar o projeto. Essas decisões podem ser tomadas continuamente até que seja alcançado um ponto em que não há valor para a perfuração, momento em que o poço será abandonado.

A linha inferior

O modelo binomial fornece uma visão mais detalhada, permitindo visualizações de vários períodos do preço do ativo subjacente e do preço da opção por vários períodos, bem como a faixa de resultados possíveis para cada período. Enquanto o modelo Black-Scholes e o modelo binomial podem ser usados ​​para avaliar opções, o modelo binomial tem uma gama mais ampla de aplicações, é mais intuitivo e mais fácil de usar.