Compreendendo o valor temporal do dinheiro

Parabéns!!! Você ganhou um prêmio em dinheiro! Você tem duas opções de pagamento: A: Receba US $ 10.000 agora ou B: Receba US $ 10.000 em três anos. Qual opção você escolheria?

Qual é o valor temporal do dinheiro?

Se você é como a maioria das pessoas, optaria por receber os US $ 10.000 agora. Afinal, três anos é muito tempo para esperar. Por que uma pessoa racional adiaria o pagamento no futuro quando ele ou ela poderia ter a mesma quantia de dinheiro agora? Para a maioria de nós, aceitar o dinheiro no presente é simplesmente instintivo. Portanto, no nível mais básico, o valor do dinheiro no tempo demonstra que todas as coisas são iguais, parece melhor ter dinheiro agora do que depois.

Mas por que isso? Uma nota de US $ 100 tem o mesmo valor que uma nota de US $ 100 daqui a um ano, não é? Na verdade, embora a conta seja a mesma, você pode fazer muito mais com o dinheiro, se o tiver agora, porque com o tempo poderá ganhar mais interesse em seu dinheiro.

Voltando ao nosso exemplo: ao receber US $ 10.000 hoje, você está pronto para aumentar o valor futuro do seu dinheiro investindo e ganhando juros por um período de tempo. Para a opção B, você não tem tempo do seu lado e o pagamento recebido em três anos seria o seu valor futuro. Para ilustrar, fornecemos uma linha do tempo:

Se você escolher a opção A, seu valor futuro será de US $ 10.000 mais juros adquiridos ao longo dos três anos. O valor futuro da opção B, por outro lado, seria de apenas US $ 10.000. Então, como você pode calcular exatamente quanto vale mais a opção A em comparação com a opção B? Vamos dar uma olhada.

Noções básicas sobre valor futuro

Se você escolher a opção A e investir o valor total a uma taxa anual simples de 4, 5%, o valor futuro do seu investimento no final do primeiro ano é de US $ 10.450. Chegamos a essa soma multiplicando o valor principal de US $ 10.000 pela taxa de juros de 4, 5% e adicionando os juros ganhos ao valor principal:

US $ 10.000 × 0, 045 = US $ 450 \ begin {alinhado} e \ US $ 10.000 \ vezes 0, 045 = \ US $ 450 \\ \ end {alinhado} US $ 10.000 × 0, 045 = US $ 450

$ 450 + $ 10.000 = $ 10.450 \ begin {alinhado} e \ $ 450 + \ $ 10, 000 = \ $ 10, 450 \\ \ end {alinhado} $ 450 + $ 10.000 = $ 10.450

Você também pode calcular o valor total de um investimento de um ano com uma simples manipulação da equação acima:

OE = (US $ 10.000 × 0, 045) + US $ 10.000 = US $ 10.450; onde: OE = Equação original \ begin {alinhado} & \ text {OE} = (\ US $ 10.000 \ vezes 0, 045) + \ US $ 10.000 = \ US $ 10.450 \\ & \ textbf {em que :} \\ & \ text {OE} = \ text {Equação original} \\ \ end {aligned} OE = (US $ 10.000 × 0, 045) + US $ 10.000 = US $ 10.450 onde: OE = equação original

Manipulação = $ 10.000 × [(1 × 0, 045) +1] = $ 10.450 \ begin {alinhado} & \ text {Manipulação} = \ $ 10.000 \ times [(1 \ times 0.045) + 1] = \ $ 10.450 \\ \ end { alinhado} Manipulação = US $ 10.000 × [(1 × 0, 045) +1] = US $ 10.450

Equação final = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = $ 10.450 \ begin {alinhado} & \ text {Equação final} = \ $ 10.000 \ vezes (0, 045 + 1) = \ $ 10.450 \\ \ end {alinhado} Equação final = $ 10.000 × (0, 045 + 1) = US $ 10.450

A equação manipulada acima é simplesmente uma remoção da variável similar $ 10.000 (a quantia principal) dividindo toda a equação original por $ 10.000.

Se os US $ 10.450 restantes em sua conta de investimento no final do primeiro ano forem deixados intocados e você investiu em 4, 5% por mais um ano, quanto você teria? Para calcular isso, você pegaria os US $ 10.450 e os multiplicaria novamente por 1, 045 (0, 045 +1). No final de dois anos, você teria US $ 10.920, 25.

Cálculo do valor futuro

O cálculo acima é, portanto, equivalente à seguinte equação:

Valor futuro = US $ 10.000 × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ begin {alinhado} & \ text {Valor futuro} = \ US $ 10.000 \ vezes (1 + 0, 045) \ vezes (1 + 0, 045) \\ \ end {alinhado} Valor futuro = US $ 10.000 × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Pense novamente na aula de matemática e na regra dos expoentes, que afirma que a multiplicação de termos semelhantes é equivalente a adicionar seus expoentes. Na equação acima, os dois termos semelhantes são (1+ 0, 045) e o expoente em cada um é igual a 1. Portanto, a equação pode ser representada da seguinte forma:

Valor futuro = US $ 10.000 × (1 + 0, 045) 2 \ begin {alinhado} e \ text {Valor futuro} = \ US $ 10.000 \ vezes (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {align} Valor futuro = US $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 2

Podemos ver que o expoente é igual ao número de anos pelos quais o dinheiro está gerando interesse em um investimento. Portanto, a equação para calcular o valor futuro de três anos do investimento ficaria assim:

Valor futuro = US $ 10.000 × (1 + 0, 045) 3 \ begin {alinhado} e \ text {Valor futuro} = \ US $ 10.000 \ vezes (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {align} Valor futuro = US $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) 3

No entanto, não precisamos continuar calculando o valor futuro após o primeiro ano, depois o segundo ano, o terceiro ano e assim por diante. Você pode entender tudo de uma vez, por assim dizer. Se você souber a quantia atual de dinheiro que possui em um investimento, sua taxa de retorno e quantos anos você gostaria de manter esse investimento, poderá calcular o valor futuro (VF) dessa quantia. É feito com a equação:

VF = VP × (1 + i) onde: VF = Valor futuroPV = Valor presente (valor original do dinheiro) i = Taxa de juros por períodon = Número de períodos \ começo {alinhado} e \ texto {FV} = \ texto { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futuro} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor presente ( quantia original em dinheiro)} \\ & i = \ text {Taxa de juros por período} \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alinhado} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valor futuroPV = Valor presente (quantia original em dinheiro) i = Taxa de juros por períodon = Número de períodos

Noções básicas sobre valor presente

Se você recebesse US $ 10.000 hoje, seu valor presente seria, obviamente, US $ 10.000, porque o valor presente é o que seu investimento lhe oferece agora se você o gastar hoje. Se você receber US $ 10.000 em um ano, o valor presente do valor não será de US $ 10.000, porque você não o tem em suas mãos agora, no presente.

Para encontrar o valor presente dos US $ 10.000 que você receberá no futuro, você precisa fingir que os US $ 10.000 são o valor total futuro de uma quantia que você investiu hoje. Em outras palavras, para encontrar o valor presente dos futuros US $ 10.000, precisamos descobrir quanto teríamos que investir hoje para receber esses US $ 10.000 em um ano.

Para calcular o valor presente ou o valor que teríamos que investir hoje, você deve subtrair os juros (hipotéticos) acumulados dos US $ 10.000. Para isso, podemos descontar o valor do pagamento futuro (US $ 10.000) pela taxa de juros do período. Em essência, tudo o que você está fazendo é reorganizar a equação do valor futuro acima para que você possa resolver o valor presente (PV). A equação do valor futuro acima pode ser reescrita da seguinte maneira:

PV = VF (1 + i) n \ begin {alinhado} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {alinhado} PV = (1 + i) nFV

Uma equação alternativa seria:

PV = VF × (1 + i) - onde: PV = Valor presente (quantia original em dinheiro) FV = Valor futuroi = Taxa de juros por períodon = Número de períodos \ begin {alinhado} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor presente (valor original em dinheiro)} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futuro} \\ & i = \ text {Taxa de juros por período} \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alinhado} PV = FV × (1 + i) - onde: PV = valor presente (quantia original em dinheiro) FV = valor futuroi = taxa de juros por períodon = número de períodos

Cálculo do valor presente

Vamos recuar dos US $ 10.000 oferecidos na opção B. Lembre-se de que os US $ 10.000 a serem recebidos em três anos são realmente o mesmo que o valor futuro de um investimento. Se tivéssemos um ano para receber o dinheiro, descontaríamos o pagamento em um ano. Usando nossa fórmula de valor presente (versão 2), na marca atual de dois anos, o valor presente dos US $ 10.000 a serem recebidos em um ano seria US $ 10.000 x (1 + 0, 045) ^-1 = US $ 9569, 38.

Observe que se hoje estivéssemos na marca de um ano, os US $ 9.569, 38 acima seriam considerados o valor futuro do nosso investimento daqui a um ano.

Continuando, no final do primeiro ano, esperávamos receber o pagamento de US $ 10.000 em dois anos. A uma taxa de juros de 4, 5%, o cálculo para o valor presente de um pagamento de US $ 10.000 esperado em dois anos seria de US $ 10.000 x (1 + 0, 045) ^-2 = US $ 9157, 30.

Obviamente, devido à regra dos expoentes, não precisamos calcular o valor futuro do investimento todos os anos, contando com o investimento de US $ 10.000 no terceiro ano. Poderíamos colocar a equação de forma mais concisa e usar os US $ 10.000 como VF. Então, aqui está como você pode calcular o valor atual de hoje dos US $ 10.000 esperados de um investimento de três anos com ganho de 4, 5%:

$ 8.762, 97 = $ 10.000 × (1 + 0, 045) −3 \ begin {alinhado} & \ $ 8, 762.97 = \ $ 10.000 \ vezes (1 + 0, 045) ^ {- 3} \\ \ end {alinhado} $ 8.762, 97 = $ 10.000 × ( 1 + 0, 045) −3

Portanto, o valor presente de um pagamento futuro de US $ 10.000 vale hoje US $ 8.762, 97 se as taxas de juros forem de 4, 5% ao ano. Em outras palavras, escolher a opção B é como receber US $ 8.762, 97 agora e investi-lo por três anos. As equações acima ilustram que a opção A é melhor não apenas porque oferece dinheiro no momento, mas porque oferece US $ 1.237, 03 (US $ 10.000 - US $ 8.762, 97) a mais em dinheiro! Além disso, se você investir os US $ 10.000 que receber da Opção A, sua escolha fornecerá um valor futuro que é US $ 1.411, 66 (US $ 11.411, 66 - US $ 10.000) maior que o valor futuro da Opção B.

Valor Presente de um Pagamento Futuro

Vamos aumentar a aposta na nossa oferta. E se o pagamento futuro for superior ao valor que você receberia imediatamente? Digamos que você possa receber US $ 15.000 hoje ou US $ 18.000 em quatro anos. A decisão agora é mais difícil. Se você optar por receber US $ 15.000 hoje e investir todo o valor, poderá acabar tendo uma quantia em dinheiro em quatro anos inferior a US $ 18.000.

Como decidir? Você pode encontrar o valor futuro de US $ 15.000, mas como estamos sempre vivendo no presente, vamos encontrar o valor presente de US $ 18.000. Desta vez, vamos assumir que as taxas de juros estão atualmente em 4%. Lembre-se de que a equação para o valor presente é a seguinte:

PV = VF × (1 + i) −n \ begin {alinhado} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {alinhado} PV = VF × (1 + i) −n

Na equação acima, tudo o que estamos fazendo é descontar o valor futuro de um investimento. Usando os números acima, o valor presente de um pagamento de US $ 18.000 em quatro anos seria calculado como US $ 18.000 x (1 + 0, 04) ^-4 = US $ 15.386, 48.

A partir do cálculo acima, agora sabemos que nossa escolha hoje é entre optar por US $ 15.000 ou US $ 15.386, 48. Obviamente, devemos optar por adiar o pagamento por quatro anos!

A linha inferior

Esses cálculos demonstram que tempo é literalmente dinheiro - o valor do dinheiro que você tem agora não é o mesmo que será no futuro e vice-versa. Portanto, é importante saber como calcular o valor do dinheiro no tempo para que você possa distinguir entre o valor dos investimentos que oferecem retornos em momentos diferentes. (Para leitura relacionada, consulte "Valor temporal do dinheiro e do dólar")