Como usar a simulação de Monte Carlo com o GBM

Uma das maneiras mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de um portfólio, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável de um portfólio, dado um intervalo de confiança em um horizonte de tempo especificado (sempre precisamos especificar dois condições para o VaR: confiança e horizonte).

Neste artigo, revisaremos um MCS básico aplicado ao preço das ações usando um dos modelos mais comuns em finanças: movimento browniano geométrico (GBM). Portanto, embora a simulação de Monte Carlo possa se referir a um universo de diferentes abordagens à simulação, começaremos aqui com o mais básico.

Onde começar

Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro várias vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de "ensaios aleatórios" produzem uma distribuição de resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são as seguintes:

1. Especifique um modelo (por exemplo, GBM)

Para este artigo, usaremos o Movimento Browniano Geométrico (GBM), que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço das ações segue uma caminhada aleatória e é consistente com (pelo menos) a forma fraca da hipótese de mercado eficiente (EMH) - as informações de preços passadas já estão incorporadas e o próximo movimento de preços é "condicionalmente independente" movimentos de preços passados.

A fórmula para GBM é encontrada abaixo:

Onde:

• S = O preço das ações
• Δ S = A variação do preço das ações
• μ = O retorno esperado
• σ = O desvio padrão dos retornos
• ϵ = A variável aleatória
• Δ t = O período de tempo decorrido

Se reorganizarmos a fórmula para resolver apenas a alteração no preço das ações, veremos que o GBM diz que a alteração no preço das ações é o preço das ações "S" multiplicado pelos dois termos encontrados entre parênteses abaixo:

O primeiro termo é um "desvio" e o segundo termo é um "choque". Para cada período de tempo, nosso modelo pressupõe que o preço "suba" pelo retorno esperado. Mas o desvio será chocado (adicionado ou subtraído) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão "s" multiplicado por um número aleatório "e". Esta é simplesmente uma maneira de escalar o desvio padrão.

Essa é a essência do GBM, como ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, nas quais cada etapa é uma deriva mais ou menos um choque aleatório (ela própria uma função do desvio padrão da ação):

figura 1

2. Gere ensaios aleatórios

Armado com uma especificação de modelo, passamos a executar testes aleatórios. Para ilustrar, usamos o Microsoft Excel para executar 40 avaliações. Lembre-se de que esta é uma amostra irrealisticamente pequena; a maioria das simulações ou "sims" executa pelo menos vários milhares de tentativas.

Nesse caso, vamos supor que o estoque comece no dia zero com um preço de US $ 10. Aqui está um gráfico do resultado em que cada etapa (ou intervalo) é de um dia e a série é executada por dez dias (em resumo: quarenta tentativas com etapas diárias por dez dias):

Figura 2: Movimento browniano geométrico

O resultado são quarenta preços de ações simulados ao final de 10 dias. Nada aconteceu abaixo de US $ 9, e um está acima de US $ 11.

3. Processe a saída

A simulação produziu uma distribuição de resultados futuros hipotéticos. Poderíamos fazer várias coisas com a saída.

Se, por exemplo, queremos estimar o VaR com 95% de confiança, precisamos localizar apenas o trigésimo oitavo resultado classificado (o terceiro pior resultado). Isso ocorre porque 2/40 é igual a 5%, então os dois piores resultados estão nos 5% mais baixos.

Se empilharmos os resultados ilustrados em compartimentos (cada compartimento é um terço de US $ 1, então três compartimentos cobrem o intervalo de US $ 9 a US $ 10), obteremos o seguinte histograma:

Figura 3

Lembre-se de que nosso modelo GBM assume normalidade; retornos de preço são normalmente distribuídos com retorno esperado (média) "m" e desvio padrão "s". Curiosamente, nosso histograma não parece normal. De fato, com mais tentativas, ela não tenderá à normalidade. Em vez disso, tenderá a uma distribuição lognormal: uma queda acentuada à esquerda da média e uma "cauda longa" altamente inclinada à direita da média.

Isso geralmente leva a uma dinâmica potencialmente confusa para os alunos iniciantes:

• As devoluções de preços são normalmente distribuídas.
• Os níveis de preço são normalmente distribuídos por log.

Pense da seguinte maneira: uma ação pode retornar 5% ou 10%, mas após um certo período de tempo, o preço da ação não pode ser negativo. Além disso, os aumentos de preço no lado positivo têm um efeito de composição, enquanto os reduções no lado negativo reduzem a base: perca 10% e você terá menos a perder na próxima vez.

Aqui está um gráfico da distribuição lognormal sobreposta às nossas suposições ilustradas (por exemplo, preço inicial de US $ 10):

Figura 4

A linha inferior

Uma simulação de Monte Carlo aplica um modelo selecionado (que especifica o comportamento de um instrumento) a um grande conjunto de ensaios aleatórios, na tentativa de produzir um conjunto plausível de possíveis resultados futuros. Em relação à simulação dos preços das ações, o modelo mais comum é o movimento browniano geométrico (GBM). O GBM assume que um desvio constante é acompanhado por choques aleatórios. Enquanto os retornos do período em GBM são normalmente distribuídos, os níveis de preços conseqüentes de vários períodos (por exemplo, dez dias) são logregalmente distribuídos.