Explorando a média móvel ponderada exponencialmente
A volatilidade é a medida de risco mais comum, mas existe em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA).
Volatilidade histórica versus volatilidade implícita
Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica assume que o passado é prólogo; medimos a história na esperança de que seja preditiva. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora a história; resolve a volatilidade implícita nos preços de mercado. Ele espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que implicitamente, uma estimativa consensual de volatilidade.
Se focarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), elas terão duas etapas em comum:
- Calcular a série de retornos periódicos
- Aplicar um esquema de ponderação
Primeiro, calculamos o retorno periódico. Normalmente, é uma série de retornos diários em que cada retorno é expresso em termos continuamente compostos. Para cada dia, registramos o logaritmo natural da proporção dos preços das ações (ou seja, preço hoje dividido pelo preço ontem e assim por diante).
ui = lnsisi-1where: ui = retorno no dia isi = preço das ações no dia isi-1 = preço das ações no dia anterior ao dia eu \ começo {alinhado} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {where:} \\ & u_i = \ text {retorno no dia} i \\ & s_i = \ text {preço das ações no dia} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {preço das ações no dia antes do dia} i \\ \ end {alinhado} ui = lnsi-1 si onde: ui = retorno no dia isi = preço das ações no dia isi-1 = preço das ações no dia anterior ao dia i O que outras pessoas estão dizendo
Isso produz uma série de retornos diários, de u i para u im, dependendo de quantos dias (m = dias) estamos medindo.
Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior, mostramos que, sob algumas simplificações aceitáveis, a variação simples é a média dos retornos ao quadrado:
variância = σn2 = 1mΣi = 1mun-12 onde: m = número de dias medidosn = diaiu = diferença de retorno do retorno médio \ begin {alinhado} e \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {onde:} \\ & m = \ text {número de dias medidos} \\ & n = \ text {day} i \\ & u = \ text {diferença de retorno do retorno médio} \\ \ end {alinhado} variância = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 onde: m = número de dias medidosn = dayiu = diferença de retorno do retorno médio
Observe que isso soma cada um dos retornos periódicos e depois divide esse total pelo número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos ao quadrado. Em outras palavras, cada retorno ao quadrado recebe um peso igual. Portanto, se alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, a = 1 / m), uma variação simples se parece com isso:
O EWMA melhora na variação simples
A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de ontem (muito recente) não tem mais influência sobre a variação do que o retorno do mês passado. Esse problema é resolvido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual retornos mais recentes têm maior peso sobre a variação.
A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) introduz lambda, que é chamado de parâmetro de suavização. O Lambda deve ser menor que um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno ao quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte maneira:
Por exemplo, a RiskMetrics TM , uma empresa de gerenciamento de riscos financeiros, tende a usar uma lambda de 0, 94, ou 94%. Nesse caso, o primeiro retorno periódico ao quadrado (mais recente) é ponderado por (1-0, 94) (. 94) 0 = 6%. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior; neste caso, 6% multiplicado por 94% = 5, 64%. E o peso do terceiro dia anterior é igual a (1-0, 94) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Esse é o significado de "exponencial" na EWMA: cada peso é um multiplicador constante (isto é, lambda, que deve ser menor que um) do peso do dia anterior. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. A diferença entre simplesmente a volatilidade e o EWMA para Google é mostrada abaixo.
A volatilidade simples pesa efetivamente todo e qualquer retorno periódico em 0, 196%, conforme mostrado na Coluna O (tivemos dois anos de dados diários sobre o preço das ações. Ou seja, 509 retornos diários e 1/509 = 0, 196%). Mas observe que a coluna P atribui um peso de 6%, depois 5, 64%, depois 5, 3% e assim por diante. Essa é a única diferença entre variação simples e EWMA.
Lembre-se: depois de somarmos a série inteira (na coluna Q), temos a variação, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar a raiz quadrada dessa variação.
Qual é a diferença na volatilidade diária entre a variação e o EWMA no caso do Google ">
A variação de hoje é uma função da variação do dia anterior
Você notará que precisamos calcular uma longa série de pesos em declínio exponencial. Não faremos as contas aqui, mas uma das melhores características da EWMA é que toda a série se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 onde: λ = o grau de diminuição da ponderaçãoσ2 = valor no período de tempo nu2 = valor de EWMA no período de tempo n \ begin {alinhado} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ lambda = \ text {o grau de diminuição da ponderação} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {valor no período} n \\ & u ^ 2 = \ text {valor do EWMA no período} n \\ \ end {alinhado} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 onde: λ = o grau de diminuição da ponderaçãoσ2 = valor no período de tempo nu2 = valor de EWMA no período de tempo n
Recursiva significa que a variação de hoje faz referência (isto é, uma função da variação do dia anterior). Você também pode encontrar essa fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo à mão! Diz: a variação de hoje (sob EWMA) é igual à variação de ontem (ponderada por lambda) mais o retorno ao quadrado de ontem (ponderado por um menos lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos: a variação ponderada de ontem e o retorno quadrado ponderado de ontem.
Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como os 94% da RiskMetric) indica decaimento mais lento da série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles "cairão" mais lentamente. Por outro lado, se reduzirmos o lambda, indicamos maior decaimento: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto do rápido decaimento, menos pontos de dados são usados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade).
Sumário
Volatilidade é o desvio padrão instantâneo de uma ação e a métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variação. Podemos medir a variação histórica ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variação simples. Mas a fraqueza com a variação simples é que todos os retornos ganham o mesmo peso. Portanto, enfrentamos uma troca clássica: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados tivermos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples, atribuindo pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um tamanho de amostra grande, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes.