Usando métodos de distribuição de probabilidade de estoque comum

Quase independentemente da sua opinião sobre a previsibilidade ou eficiência dos mercados, você provavelmente concordará que, para a maioria dos ativos, os retornos garantidos são incertos ou arriscados. Se ignorarmos a matemática subjacente às distribuições de probabilidade, podemos ver que são figuras que descrevem uma visão particular da incerteza. A distribuição de probabilidade é um cálculo estatístico que descreve a chance de uma determinada variável cair entre ou dentro de um intervalo específico em um gráfico de plotagem.

A incerteza se refere à aleatoriedade. É diferente de uma falta de previsibilidade ou ineficiência do mercado. Uma visão de pesquisa emergente sustenta que os mercados financeiros são incertos e previsíveis. Além disso, os mercados podem ser eficientes, mas também incertos.

Em finanças, usamos distribuições de probabilidade para desenhar figuras que ilustram nossa visão da sensibilidade do retorno de um ativo quando pensamos que o retorno do ativo pode ser considerado uma variável aleatória. Neste artigo, abordaremos algumas das distribuições de probabilidade mais populares e mostraremos como calculá-las.

As distribuições podem ser categorizadas como discretas ou contínuas e se é uma função de densidade de probabilidade (PDF) ou uma distribuição cumulativa.

Distribuições discretas x contínuas

Discreta refere-se a uma variável aleatória extraída de um conjunto finito de resultados possíveis. Um dado de seis lados, por exemplo, tem seis resultados distintos. Uma distribuição contínua refere-se a uma variável aleatória retirada de um conjunto infinito. Exemplos de variáveis ​​aleatórias contínuas incluem velocidade, distância e alguns retornos de ativos. Uma variável aleatória discreta é ilustrada tipicamente com pontos ou traços, enquanto uma variável contínua é ilustrada com uma linha sólida. A Figura 1 mostra distribuições discretas e contínuas para uma distribuição normal com média (valor esperado) de 50 e desvio padrão de 10:

figura 1

A distribuição é uma tentativa de mapear a incerteza. Nesse caso, um resultado de 50 é o mais provável, mas só ocorrerá cerca de 4% das vezes; um resultado de 40 é um desvio padrão abaixo da média e ocorrerá pouco menos de 2, 5% do tempo.

Densidade de probabilidade vs. distribuição cumulativa

A outra distinção é entre a função de densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição cumulativa. O PDF é a probabilidade de que nossa variável aleatória atinja um valor específico (ou, no caso de uma variável contínua, de queda entre um intervalo). Mostramos que, indicando a probabilidade de uma variável aleatória X ser igual a um valor real x:

P [x = X] \ begin {alinhado} & P [x = X] \\ \ end {alinhado} P [x = X]

A distribuição cumulativa é a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual ao valor real x:

P [x <= X] \ begin {alinhado} & P [x <= X] \\ \ end {alinhado} P [x <= X]

ou exemplo, se sua altura for uma variável aleatória com um valor esperado de 5'10 "polegadas (altura média de seus pais), a pergunta em PDF é:" Qual é a probabilidade de você atingir uma altura de 5'4 "" >

A Figura 1 mostra duas distribuições normais. Agora você pode ver esses gráficos de função de densidade de probabilidade (PDF). Se traçarmos novamente a mesma distribuição exata de uma distribuição cumulativa, obteremos o seguinte:

Figura 2

A distribuição cumulativa deve finalmente atingir 1, 0 ou 100% no eixo y. Se elevarmos a fasquia o suficiente, em algum momento, praticamente todos os resultados cairão abaixo dessa fasquia (poderíamos dizer que a distribuição é tipicamente assintótica a 1, 0).

As finanças, uma ciência social, não são tão limpas quanto as ciências físicas. A gravidade, por exemplo, tem uma fórmula elegante da qual podemos confiar, uma e outra vez. Por outro lado, os retornos de ativos financeiros não podem ser replicados de forma tão consistente. Uma quantidade espantosa de dinheiro foi perdida ao longo dos anos por pessoas inteligentes que confundiram as distribuições precisas (como se derivadas das ciências físicas) com as aproximações confusas e não confiáveis ​​que tentam representar retornos financeiros. Em finanças, as distribuições de probabilidade são pouco mais que representações pictóricas grosseiras.

Distribuição uniforme

A distribuição mais simples e mais popular é a distribuição uniforme, na qual todos os resultados têm a mesma chance de ocorrer. Um dado de seis lados tem uma distribuição uniforme. Cada resultado tem uma probabilidade de cerca de 16, 67% (1/6). Nosso gráfico abaixo mostra a linha sólida (para que você possa vê-la melhor), mas lembre-se de que esta é uma distribuição discreta - você não pode rolar 2.5 ou 2.11:

Figura 3

Agora, jogue dois dados juntos, como mostra a Figura 4, e a distribuição não será mais uniforme. O pico é de sete, o que tem uma chance de 16, 67%. Nesse caso, todos os outros resultados são menos prováveis:

Figura 4

Agora, jogue três dados juntos, como mostra a Figura 5. Começamos a ver os efeitos de um teorema mais surpreendente: o teorema do limite central. O teorema do limite central promete ousadamente que a soma ou média de uma série de variáveis ​​independentes tenderá a se distribuir normalmente, independentemente de sua própria distribuição . Nossos dados são individualmente uniformes, mas os combinam e - à medida que adicionamos mais dados - quase magicamente, sua soma tenderá à distribuição normal familiar.

Figura 5

Distribuição binomial

A distribuição binomial reflete uma série de tentativas "ou / ou", como uma série de lançamentos de moedas. Estes são chamados de ensaios de Bernoulli - que se referem a eventos que têm apenas dois resultados - mas você não precisa de chances (50/50). A distribuição binomial abaixo plota uma série de 10 lançamentos de moedas em que a probabilidade de cara é de 50% (p-0, 5). Você pode ver na Figura 6 que a chance de virar exatamente cinco cabeças e cinco caudas (ordem não importa) é apenas tímida de 25%:

Figura 6

Se a distribuição binomial lhe parecer normal, você está correto sobre isso. À medida que o número de tentativas aumenta, o binômio tende à distribuição normal.

Distribuição Lognormal

A distribuição lognormal é muito importante nas finanças, porque muitos dos modelos mais populares assumem que os preços das ações são distribuídos lognormalmente. É fácil confundir retornos de ativos com níveis de preços.

Os retornos de ativos geralmente são tratados como normais - um estoque pode subir 10% ou diminuir 10%. Os níveis de preço são frequentemente tratados como lognormal - um estoque de US $ 10 pode subir até US $ 30, mas não pode descer para - US $ 10. A distribuição lognormal é diferente de zero e inclinada para a direita (novamente, um estoque não pode cair abaixo de zero, mas não tem limite teórico de vantagem):

Figura 7

Poisson

A distribuição de Poisson é usada para descrever as chances de um determinado evento (por exemplo, uma perda diária do portfólio abaixo de 5%) ocorrer durante um intervalo de tempo. Portanto, no exemplo abaixo, supomos que algum processo operacional tenha uma taxa de erro de 3%. Assumimos ainda 100 ensaios aleatórios; a distribuição de Poisson descreve a probabilidade de obter um certo número de erros durante algum período de tempo, como um único dia.

Figura 8

T do aluno

A distribuição T do aluno também é muito popular porque tem uma cauda "mais gorda" do que a distribuição normal. O T do aluno é usado normalmente quando o tamanho da amostra é pequeno (ou seja, inferior a 30). Nas finanças, a cauda esquerda representa as perdas. Portanto, se o tamanho da amostra for pequeno, ousamos subestimar as chances de uma grande perda. A cauda mais gorda do T do aluno nos ajudará aqui. Mesmo assim, acontece que a cauda gorda dessa distribuição geralmente não é gorda o suficiente. Os retornos financeiros tendem a exibir, em raras ocasiões catastróficas, perdas realmente pesadas (isto é, mais gordas do que o previsto pelas distribuições). Grandes somas de dinheiro foram perdidas nesse ponto.

Figura 9

Distribuição Beta

Finalmente, a distribuição beta (que não deve ser confundida com o parâmetro beta no modelo de precificação de ativos de capital) é popular entre os modelos que estimam as taxas de recuperação nas carteiras de títulos. A distribuição beta é o player utilitário de distribuições. Como o normal, ele precisa de apenas dois parâmetros (alfa e beta), mas eles podem ser combinados para uma flexibilidade notável. Quatro possíveis distribuições beta são ilustradas na Figura 10 abaixo:

Figura 10

A linha inferior

Como tantos sapatos em nosso armário de sapatos estatísticos, tentamos escolher o melhor para a ocasião, mas não sabemos realmente o que o tempo nos reserva. Podemos escolher uma distribuição normal e descobrir que subestimamos as perdas na cauda esquerda; portanto, mudamos para uma distribuição assimétrica, apenas para descobrir que os dados parecem mais "normais" no próximo período. A matemática elegante abaixo pode seduzi-lo a pensar que essas distribuições revelam uma verdade mais profunda, mas é mais provável que sejam meros artefatos humanos. Por exemplo, todas as distribuições analisadas são bastante suaves, mas alguns retornos de ativos aumentam de forma descontinuada.

A distribuição normal é onipresente e elegante e requer apenas dois parâmetros (média e distribuição). Muitas outras distribuições convergem para o normal (por exemplo, binomial e Poisson). No entanto, muitas situações, como retornos de fundos de hedge, carteiras de crédito e eventos de perdas graves, não merecem as distribuições normais.