Noções básicas sobre o modelo de precificação de opção binomial

Concordar com preços precisos para qualquer ativo negociável é um desafio - é por isso que os preços das ações mudam constantemente. Na realidade, as empresas dificilmente alteram suas avaliações no dia-a-dia, mas seus preços e cotações das ações mudam quase a cada segundo. Essa dificuldade em chegar a um consenso sobre o preço correto de qualquer ativo negociável leva a oportunidades de arbitragem de curta duração.

Mas muitos investimentos bem-sucedidos se resumem a uma simples questão de avaliação atual - qual é o preço atual correto hoje para um retorno futuro esperado?

Avaliação de opções binominais

Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, ativos com estruturas de pagamento idênticas devem ter o mesmo preço. A avaliação das opções tem sido uma tarefa desafiadora e as variações de preços levam a oportunidades de arbitragem. Black-Scholes continua sendo um dos modelos mais populares usados ​​para opções de preços, mas tem limitações.

O modelo de precificação de opções binomiais é outro método popular usado para opções de precificação.

Exemplos

Suponha que haja uma opção de compra em uma ação específica com um preço de mercado atual de US $ 100. A opção de dinheiro (ATM) tem um preço de exercício de US $ 100, com prazo de validade de um ano. Existem dois traders, Peter e Paula, que concordam que o preço das ações subirá para US $ 110 ou cairá para US $ 90 em um ano.

Eles concordam com os níveis de preços esperados em um determinado período de um ano, mas discordam da probabilidade de movimento para cima ou para baixo. Peter acredita que a probabilidade de o preço da ação chegar a US $ 110 é de 60%, enquanto Paula acredita que é de 40%.

Com base nisso, quem estaria disposto a pagar mais pela opção de compra? Possivelmente Peter, pois espera uma alta probabilidade de movimento ascendente.

Cálculos de opções binominais

Os dois ativos, dos quais a avaliação depende, são a opção de compra e o estoque subjacente. Há um acordo entre os participantes de que o preço das ações subjacentes pode passar dos atuais US $ 100 para US $ 110 ou US $ 90 em um ano e não há outras mudanças de preços possíveis.

Em um mundo livre de arbitragem, se você precisar criar um portfólio composto por esses dois ativos, opção de compra e estoque subjacente, de forma que, independentemente de onde o preço subjacente vá - US $ 110 ou US $ 90 - o retorno líquido do portfólio permaneça sempre o mesmo . Suponha que você compre ações "d" da opção de compra única subjacente e curta para criar esse portfólio.

Se o preço for de US $ 110, suas ações valerão US $ 110 * d, e você perderá US $ 10 no pagamento da chamada curta. O valor líquido do seu portfólio será (110d - 10).

Se o preço cair para US $ 90, suas ações valerão US $ 90 * d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido do seu portfólio será (90d).

Se você deseja que o valor do seu portfólio permaneça o mesmo, independentemente do preço das ações subjacentes, o valor do portfólio deve permanecer o mesmo em ambos os casos:

h (d) −m = l (d) em que: h = Maior preço potencial subjacente = Número de ações subjacentesm = Dinheiro perdido em pagamentos de chamadas curtasl = Menor preço subjacente potencial \ begin {alinhado} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {where:} \\ & h = \ text {Preço subjacente potencial mais alto} \\ & d = \ text {Número de ações subjacentes} \\ & m = \ text {Dinheiro perdido no pagamento de chamadas curtas} \\ & l = \ text {Menor preço potencial subjacente} \\ \ end {alinhado} h (d) −m = l (d) em que: h = Maior preço potencial subjacente = Número de ações subjacentesm = Dinheiro perdido em chamadas curtas payoffl = menor preço potencial subjacente

Portanto, se você comprar metade da ação, supondo que compras fracionárias sejam possíveis, você poderá criar um portfólio para que seu valor permaneça o mesmo nos dois estados possíveis no prazo de um ano.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {alinhado} e 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {alinhado} 110d − 10 = 90dd = 21

Este valor do portfólio, indicado por (90d) ou (110d - 10) = 45, é de um ano abaixo da linha. Para calcular seu valor presente, ele pode ser descontado pela taxa de retorno sem risco (assumindo 5%).

Valor presente = 90d × e (−5% × 1 ano) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ begin {aligned} \ text {Valor presente} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Ano})} \\ & = 45 \ times 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {alinhado} Valor presente = 90d × e (−5% × 1 ano) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Como atualmente, o portfólio é composto por ½ ação das ações subjacentes (com preço de mercado de US $ 100) e uma chamada curta, deve ser igual ao valor presente.

12 × 100−1 × Preço de chamada = $ 42, 85Preço de chamada = $ 7, 14, ou seja, o preço de chamada de hoje \ begin {align}} & \ frac {1} {2} \ times 100 - 1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Preço de chamada} = \ $ 7, 14 \ text {, ou seja, o preço de chamada de hoje} \\ \ end {aligned} 21 × 100−1 × Preço de chamada = $ 42, 85Preço de chamada = $ 7, 14, ou seja o preço de chamada de hoje

Como isso se baseia na suposição de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente da direção do preço subjacente, a probabilidade de um movimento para cima ou para baixo não desempenha nenhum papel. O portfólio permanece livre de riscos, independentemente dos movimentos subjacentes dos preços.

Nos dois casos (presume-se subir para US $ 110 e descer para US $ 90), seu portfólio é neutro ao risco e ganha a taxa de retorno sem risco.

Portanto, ambos os traders, Peter e Paula, estariam dispostos a pagar os mesmos US $ 7, 14 por esta opção de compra, apesar de suas percepções divergentes sobre as probabilidades de subidas (60% e 40%). Suas probabilidades percebidas individualmente não importam na avaliação de opções.

Supondo que as probabilidades individuais sejam importantes, as oportunidades de arbitragem podem ter se apresentado. No mundo real, essas oportunidades de arbitragem existem com diferenciais de preço menores e desaparecem no curto prazo.

Mas onde está a volatilidade muito exaltada em todos esses cálculos, um fator importante e sensível que afeta o preço das opções?

A volatilidade já está incluída pela natureza da definição do problema. Supondo que dois (e apenas dois - daí o nome "binomial") estados dos níveis de preço (US $ 110 e US $ 90), a volatilidade está implícita nessa suposição e incluída automaticamente (10% de qualquer maneira neste exemplo).

Black-Scholes

Mas essa abordagem é correta e coerente com os preços Black-Scholes comumente usados? Os resultados da calculadora de opções (cortesia da OIC) correspondem estreitamente ao valor calculado:

Infelizmente, o mundo real não é tão simples quanto “apenas dois estados”. As ações podem atingir vários níveis de preços antes do vencimento.

É possível incluir todos esses níveis múltiplos em um modelo de precificação binomial restrito a apenas dois níveis ">

Simple Math

Para generalizar esse problema e solução:

"X" é o preço de mercado atual de uma ação e "X * u" e "X * d" são os preços futuros de movimentos para cima e para baixo "t" anos depois. O fator "u" será maior que um, pois indica um movimento para cima e "d" ficará entre zero e um. Para o exemplo acima, u = 1, 1 ed = 0, 9.

Os pagamentos das opções de compra são "P _up " e "P _dn " para movimentos para cima e para baixo no momento do vencimento.

Se você criar um portfólio de ações "s" compradas hoje e uma opção de compra curta, depois do tempo "t":

VUM = s × X × u-Pupwhere: VUM = Valor do portfólio em caso de um movimento para cima \ begin {alinhado} & \ text {VUM} = s \ vezes X \ vezes u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valor do portfólio em caso de movimento ascendente} \\ \ end {alinhado} VUM = s × X × u-Pup onde: VUM = Valor do portfólio em caso de movimento ascendente

VDM = s × X × d-Pdownwhere: VDM = Valor do portfólio em caso de movimento descendente \ begin {alinhado} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valor do portfólio em caso de movimento descendente} \\ \ end {alinhado} VDM = s × X × d-Pdown em que: VDM = Valor do portfólio em caso de movimento descendente

Para uma avaliação semelhante em qualquer caso de movimento de preço:

s × X × u-Pup = s × X × d-Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Filhote = s × X × d-Pdown

s = Pup-PdownX × (u-d) = O número de ações a serem compradas para = um portfólio sem risco \ begin {alinhado} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {O número de ações a serem compradas} \\ & \ phantom {=} \ text {um portfólio sem risco} \\ \ end {alinhado} s = X × (u-d) Pup -Pdown = O número de ações a serem compradas para = um portfólio sem risco

O valor futuro da carteira no final de "t" anos será:

Em caso de movimento para cima = s × X × u-Pup = Pup-Pdownu-d × u-Pup \ begin {aligned} \ text {Em caso de movimento para cima} & = s \ times X \ times u - P_ \ texto {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {alinhado} No caso de Mover para Cima = s × X × u-Pup = u-dPup -Pdown × u-Pup

Em caso de movimento para baixo = s × X × d-Pdown = Pup-Pdownu-d × d-Pdown \ begin {aligned} \ text {Em caso de movimento para baixo} & = s \ times X \ times d - P_ \ texto {baixo} \\ & = \ frac {P_ \ texto {alto} - P_ \ texto {baixo}} {u - d} \ vezes d - P_ \ texto {baixo} \\ \ end {alinhado} Mova para baixo = s × X × d-Pdown = u-dPup -Pdown × d-Pdown

O valor atual pode ser obtido descontando-o com a taxa de retorno sem risco:

PV = e (−rt) × [Pup-Pdownu-d × u-Pup] em que: PV = Avaliador atual = Taxa de retorno = Tempo, em anos \ begin {alinhado} & \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { onde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor atual} \\ & r = \ text {Taxa de retorno} \\ & t = \ text {Tempo, em anos} \\ \ end {alinhado} PV = e (-rt) × [u-dPup -Pdown × u-Pup] onde: PV = Avaliador atual = Taxa de retornot = Tempo, em anos

Isso deve corresponder à participação do portfólio de ações "s" no preço X, e o valor da compra curta "c" (a participação atual de (s * X - c) deve ser igual a esse cálculo). A resolução de "c" finalmente fornece Como:

Nota: Se o prêmio da chamada estiver em curto, deve ser uma adição ao portfólio, não uma subtração.

c = e (-rt) u-d × [(e (-rt) -d) × Filhote + (u-e (-rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Filhote + (u − e (−rt)) × Pdown]

Outra maneira de escrever a equação é reorganizando-a:

Tomando "q" como:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Então a equação se torna:

c = e (−rt) × (q × Filhote + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ texto {abaixo}) c = e (−rt) × (q × Filhote + (1 − q) × Pdown)

Reorganizar a equação em termos de "q" ofereceu uma nova perspectiva.

Agora você pode interpretar "q" como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como "q" está associado a P _up e "1-q" está associado a P _dn ). No geral, a equação representa o preço da opção atual, o valor descontado de seu pagamento no vencimento.

Este "Q" é diferente

Qual a diferença entre essa probabilidade "q" e a probabilidade de um movimento para cima ou para baixo do subjacente ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d onde: VSP = Valor do preço das ações no momento t \ begin {alinhado} & \ text {VSP} = q \ vezes X \ vezes u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valor do preço das ações no momento} t \\ \ end {alinhado} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d onde: VSP = Valor do preço das ações no momento t

Substituindo o valor de "q" e reorganizando, o preço das ações no momento "t" chega a:

Preço das ações = e (rt) × X \ begin {alinhado} & \ text {Preço das ações} = e (rt) \ vezes X \\ \ end {alinhado} Preço das ações = e (rt) × X

Nesse mundo assumido de dois estados, o preço das ações simplesmente aumenta pela taxa de retorno sem risco, exatamente como um ativo sem risco, e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Os investidores são indiferentes ao risco de acordo com esse modelo, portanto este constitui o modelo neutro ao risco.

A probabilidade “q” e "(1-q)" são conhecidas como probabilidades neutras ao risco e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação neutra ao risco.

O cenário de exemplo tem um requisito importante - a estrutura de pagamento futuro é necessária com precisão (nível $ 110 e $ 90). Na vida real, essa clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível; ao contrário, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em vários níveis.

Para expandir ainda mais o exemplo, suponha que níveis de preço em duas etapas sejam possíveis. Conhecemos os payoffs finais da segunda etapa e precisamos avaliar a opção hoje (na etapa inicial):

Trabalhando para trás, a avaliação intermediária da primeira etapa (em t = 1) pode ser feita usando os retornos finais na etapa dois (t = 2) e, em seguida, usando essas avaliações calculadas da primeira etapa (t = 1), a avaliação atual (t = 0) pode ser alcançado com esses cálculos.

Para obter o preço das opções no número dois, são utilizados os payoffs em quatro e cinco. Para obter o preço do número três, são utilizados pagamentos de cinco e seis. Finalmente, os pagamentos calculados em dois e três são usados ​​para obter o preço no número um.

Observe que este exemplo assume o mesmo fator para movimentos para cima (e para baixo) em ambas as etapas - u e d são aplicados de maneira composta.

Um exemplo de trabalho

Suponha que uma opção de venda com um preço de exercício de $ 110 esteja sendo negociada atualmente a $ 100 e expirando em um ano. A taxa anual livre de risco é de 5%. O preço deverá aumentar em 20% e diminuir em 15% a cada seis meses.

Aqui, u = 1, 2 ed = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

usando a fórmula derivada acima de

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

obtemos q = 0, 35802832

valor da opção de venda no ponto 2,

p2 = e (-rt) × (p × Pupup + (1-q) Pupdn) em que: p = Preço da opção de venda \ begin {alinhado} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {onde:} \\ & p = \ text {Preço da opção de venda} \\ \ end {alinhado} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) em que: p = Preço da opção de venda

Na condição P _upup, subjacente será = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144 levando a P _upup = zero

Na condição P _updn, subjacente será = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102 levando a P _updn = $ 8

Na condição P _dndn, subjacente será = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25, levando a P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Da mesma forma, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

E, portanto, o valor da opção de venda, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = US $ 18, 29.

Da mesma forma, os modelos binomiais permitem que você quebre toda a duração da opção para refinar ainda mais várias etapas e níveis. Usando programas de computador ou planilhas, você pode retroceder uma etapa de cada vez para obter o valor presente da opção desejada.

Outro exemplo

Suponha uma opção de venda do tipo europeu com nove meses para expirar, um preço de exercício de US $ 12 e um preço subjacente atual de US $ 10. Suponha uma taxa livre de risco de 5% para todos os períodos. Suponha que a cada três meses, o preço subjacente possa subir ou diminuir 20%, resultando em u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 e uma árvore binomial de três etapas.

Vermelho indica preços subjacentes, enquanto azul indica o pagamento das opções de venda.

A probabilidade neutra ao risco "q" calcula para 0, 531446.

Usando o valor acima de "q" e os valores de pagamento em t = nove meses, os valores correspondentes em t = seis meses são computados como:

Além disso, usando esses valores calculados em t = 6, os valores em t = 3 e em t = 0 são:

Isso fornece o valor atual de uma opção de venda como US $ 2, 18, bem próximo do que você encontraria fazendo os cálculos usando o modelo Black-Scholes (US $ 2, 30).

A linha inferior

Embora o uso de programas de computador possa facilitar esses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua sendo uma grande limitação dos modelos binomiais para o preço das opções. Quanto mais finos os intervalos de tempo, mais difícil fica a previsão dos ganhos no final de cada período com precisão de alto nível.

No entanto, a flexibilidade de incorporar as mudanças esperadas em diferentes períodos é um plus, o que o torna adequado para precificar opções americanas, incluindo avaliações de exercício antecipado.

Os valores calculados usando o modelo binomial correspondem estreitamente aos calculados de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais na precificação de opções. Os modelos binomiais de precificação podem ser desenvolvidos de acordo com as preferências de um profissional e podem funcionar como uma alternativa ao Black-Scholes.