Cálculo do valor presente e futuro das anuidades

Em algum momento de sua vida, você pode ter que fazer uma série de pagamentos fixos por um período de tempo - como aluguel ou aluguel de carro - ou ter recebido uma série de pagamentos por um período, como juros de títulos ou CDs. Essas são chamadas anuidades (um uso mais genérico da palavra - que não deve ser confundido com o produto financeiro específico chamado anuidade, embora as duas estejam relacionadas). Se você entende o valor do dinheiro no tempo, está pronto para aprender sobre anuidades e como são calculados seus valores presentes e futuros.

O que são anuidades?

As anuidades são essencialmente uma série de pagamentos fixos exigidos de você, ou pagos a você, em uma frequência especificada ao longo de um período de tempo fixo. As frequências de pagamento podem ser anuais, semestrais (duas vezes por ano), trimestralmente e mensalmente. Existem dois tipos básicos de anuidades: anuidades comuns e anuidades devidas.

• Anuidade comum: os pagamentos são necessários no final de cada período. Por exemplo, títulos diretos geralmente fazem pagamentos de cupons no final de cada seis meses até a data de vencimento do título.
• Anuidade devido: os pagamentos são necessários no início de cada período. O aluguel é um exemplo de uma anuidade devida. Geralmente, você é obrigado a pagar o aluguel quando se mudar pela primeira vez no início do mês e depois no primeiro dia de cada mês seguinte.

Como os cálculos de valor presente e futuro de anuidades ordinárias e anuidades devidas são ligeiramente diferentes, discutiremos separadamente.

Anuidades comuns

Cálculo do valor futuro

Se você sabe quanto pode investir por período durante um determinado período, o valor futuro (VF) de uma fórmula de anuidade comum é útil para descobrir quanto você teria no futuro. Se você estiver efetuando pagamentos de um empréstimo, o valor futuro será útil para determinar o custo total do empréstimo. Se você sabe quanto planeja investir a cada ano e a taxa de retorno fixa que sua anuidade garante - ou, para empréstimos, o valor de seus pagamentos e a taxa de juros especificada - você pode facilmente determinar o valor da sua conta a qualquer momento. o futuro.

Vamos agora examinar o Exemplo 1. Considere o seguinte cronograma de fluxo de caixa de anuidades:

Para calcular o valor futuro da anuidade, temos que calcular o valor futuro de cada fluxo de caixa. Vamos supor que você receba US $ 1.000 por ano pelos próximos cinco anos e invista cada pagamento com juros de 5%. O diagrama a seguir mostra quanto você teria no final do período de cinco anos:

Como temos que adicionar o valor futuro de cada pagamento, você deve ter notado que, se tiver uma anuidade comum com muitos fluxos de caixa, levará muito tempo para calcular todos os valores futuros e depois adicioná-los. Felizmente, a matemática fornece uma fórmula que serve como um atalho para encontrar o valor acumulado de todos os fluxos de caixa recebidos de uma anuidade comum:

FV Anuidade ordinária = C × [(1 + i) n − 1i] onde: C = Fluxo de caixa por períodoi = Juros raten = Número de pagamentos \ começo {alinhado} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinária ~ Anuidade }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {onde:} \\ & \ text {C} = \ text {Fluxo de caixa por período} \\ & i = \ text {Taxa de juros} \\ & n = \ text {Número de pagamentos} \\ \ end {alinhado} Anuidade FVO ordinária = C × [i (1 + i) n − 1] onde: C = Fluxo de caixa por períodoi = Juros rateados = Número de pagamentos

Usando a fórmula acima para o Exemplo 1 acima, este é o resultado:

Anuidade FVOrdinária = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5-10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ begin {aligned} \ text {FV} _ {\ text {Ordinária ~ Anuidade}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5, 53] \\ & = \ $ 5525, 63 \ end {alinhado} Anuidade ordinária = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = $ 1000 × [5, 53]

Cálculo do valor presente

Observe que a diferença de um centavo entre US $ 5.525, 64 e US $ 5.525, 63 é devido a um erro de arredondamento no primeiro cálculo. Cada valor do primeiro cálculo deve ser arredondado para o centavo mais próximo - quanto mais você precisar arredondar números em um cálculo, maiores serão os erros de arredondamento. Portanto, a fórmula acima não apenas fornece um atalho para encontrar o VF de uma anuidade comum, mas também fornece um resultado mais preciso.

O valor presente de uma anuidade é simplesmente o valor atual de toda a renda gerada por esse investimento no futuro. Esse cálculo é baseado no conceito de valor do dinheiro no tempo, que afirma que um dólar agora vale mais do que um dólar ganho no futuro. Por esse motivo, os cálculos do valor presente usam o número de períodos nos quais a renda é gerada para descontar o valor dos pagamentos futuros.

Se você deseja determinar o valor atual de uma série de pagamentos futuros, precisa usar a fórmula que calcula o valor presente (PV) de uma anuidade comum. Essa é a fórmula que você usaria como parte de um cálculo de preço de títulos. O PV de uma anuidade comum calcula o valor presente dos pagamentos do cupom que você receberá no futuro.

No Exemplo 2, usaremos a mesma programação de fluxo de caixa de anuidade que fizemos no Exemplo 1. Para obter o valor total descontado, precisamos levar o valor presente de cada pagamento futuro e, como fizemos no Exemplo 1, adicionar o fluxos de caixa juntos.

Novamente, calcular e adicionar todos esses valores levará um tempo considerável, especialmente se esperamos muitos pagamentos futuros. Embora inúmeras calculadoras on-line possam determinar o valor presente de uma anuidade, a fórmula para uma anuidade regular não é muito complicada de calcular manualmente, se usarmos um atalho matemático para o PV de uma anuidade comum.

Anuidade ordinária PV = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinária ~ Anuidade}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Grande] Anuidade ordinária PV = C × [i1− (1 + i) −n]

A fórmula nos fornece o PV em algumas etapas fáceis. Aqui está o cálculo da anuidade representada no diagrama do exemplo 2:

Anuidade PVOrdinary = $ 1000 × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ begin {alinhado} \ text {PV} _ {\ text {Ordinária ~ Anuidade}} & = \ $ 1000 \ times \ Grande [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Grande] \\ & = \ $ 1000 \ times [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ end {alinhado} Anuidade Ordinária PV = $ 1000 × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = $ 1000 × [4, 33]

Cálculo do valor futuro

Quando você está recebendo ou pagando fluxos de caixa por uma anuidade vencida, sua programação de fluxo de caixa aparecerá da seguinte maneira:

Como cada pagamento da série é efetuado um período antes, precisamos descontar a fórmula em um período. Uma ligeira modificação na fórmula do VJ de uma anuidade ordinária contabiliza pagamentos que ocorrem no início de cada período. No Exemplo 3, vamos ilustrar por que essa modificação é necessária quando cada pagamento de US $ 1.000 é feito no início do período e não no final (a taxa de juros ainda é de 5%):

Observe que quando os pagamentos são feitos no início do período, cada valor é retido por mais tempo no final do período. Por exemplo, se os US $ 1.000 fossem investidos em 1º de janeiro em vez de 31 de dezembro de cada ano, o último pagamento antes de avaliarmos nosso investimento no final de cinco anos (em 31 de dezembro) teria sido feito um ano antes (1 de janeiro) em vez de no mesmo dia em que é avaliado. O valor futuro da fórmula da anuidade seria então:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) VF _ {\ text {Anuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Portanto,

Vencimento do FVAnnuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5-10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ begin {alinhado} FV _ {\ text {Anuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ end { alinhado} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Anuidade vencida

Cálculo do valor presente

Para o valor presente de uma fórmula de vencimento de anuidade, precisamos descontar a fórmula em um período a frente, pois os pagamentos são retidos por um período menor. Ao calcular o valor presente, assumimos que o primeiro pagamento foi feito hoje.

Poderíamos usar essa fórmula para calcular o valor presente de seus pagamentos futuros de aluguel, conforme especificado em um contrato de locação assinado com o senhorio. Digamos que você efetue seu primeiro pagamento de aluguel (veja o Exemplo 4 abaixo) no início do mês e avalie o valor presente do seu contrato de locação de cinco meses no mesmo dia. Seu cálculo do valor presente funcionaria da seguinte maneira:

Obviamente, podemos usar um atalho de fórmula para calcular o valor presente de uma anuidade devida:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Anuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Portanto,

PVAnnuity Vencimento = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ begin {alinhado} PV _ {\ text {Anuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times4, 33 \ times1, 05 \\ & = \ $ 4545, 95 \ end {alinhado} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Lembre-se de que o valor presente de uma anuidade comum retornou um valor de $ 4.329, 48. O valor presente de uma anuidade ordinária é menor que o de uma anuidade devida porque, quanto mais atrasados ​​descontamos um pagamento futuro, menor é seu valor presente - cada pagamento ou fluxo de caixa em uma anuidade ordinária ocorre um período mais adiante.

O valor temporal do dinheiro

O cálculo do valor futuro é baseado no conceito de valor do dinheiro no tempo. Isso significa simplesmente que um dólar ganho hoje vale mais que um dólar ganho amanhã, porque os fundos que você controla agora podem ser investidos e ganhar juros ao longo do tempo. Portanto, o valor futuro de uma anuidade é maior que a soma de todos os seus investimentos, porque essas contribuições vêm gerando juros ao longo do tempo. Por exemplo, o valor futuro de US $ 1.000 investidos hoje com juros de 10% é de US $ 1.100 daqui a um ano. Hoje, um único dólar vale US $ 1, 10 em um ano por causa do valor temporal do dinheiro.

Suponha que você faça pagamentos anuais de US $ 5.000 à sua anuidade comum por 15 anos. Ele ganha 9% de juros, compostos anualmente.

FV = $ 5.000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0, 09 \ begin {alinhado} FV & = \ $ 5, 000 \ times \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5, 000 \ times \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ $ 5, 000 \ times 2, 642 \ div 0, 09 \\ & = \ $ 5, 000 \ times \ $ 146, 804, 58 \ end {alinhado} FV = $ 5, 000 × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × {((1, 0915) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0, 09

Sem a composição do poder de juros, sua série de contribuições de US $ 5.000 vale apenas US $ 75.000 no final de 15 anos. Em vez disso, com juros compostos, o valor futuro da sua anuidade é quase o dobro do valor de $ 146.804, 58.

Para calcular o valor futuro de uma anuidade vencida, basta multiplicar o valor futuro ordinário por 1+ i (a taxa de juros). No exemplo acima, o valor futuro de uma anuidade devido com os mesmos parâmetros é simplesmente $ 146.804, 58 x (1 + 0, 09) ou $ 160.016, 99.

Considerações sobre valor presente

Ao calcular o valor presente de uma anuidade, é importante que todas as variáveis ​​sejam consistentes. Se a anuidade gera pagamentos anuais, por exemplo, a taxa de juros também deve ser expressa como uma taxa anual. Se a anuidade gera pagamentos mensais, por exemplo, a taxa de juros também deve ser expressa como uma taxa mensal.

Suponha que uma anuidade tenha uma taxa de juros de 10%, que gera pagamentos anuais de US $ 3.000 pelos próximos 15 anos. O valor presente dessa anuidade é:

= $ 3.000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = $ 3.000 × ((− .239392) ÷ 0.1) = $ 3.000 × (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608 \ begin {alinhado } & = \ $ 3, 000 \ times ((((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ vezes (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ times 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ end {alinhado} = $ 3.000 × ((((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = $ 3.000 × ((1 − .239392) ÷ 0, 1) = $ 3.000 × (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 × 7, 60608

Valor Presente de uma Anuidade

A linha inferior

Agora você pode ver como as anuidades afetam como você calcula o valor presente e futuro de qualquer quantia em dinheiro. Lembre-se de que as frequências de pagamento ou o número de pagamentos e a hora em que esses pagamentos são feitos (seja no início ou no final de cada período de pagamento) são todas as variáveis ​​que você precisa considerar nos seus cálculos.

Ao planejar a aposentadoria, é importante ter uma boa idéia de quanto renda você pode contar a cada ano. Embora possa ser relativamente fácil acompanhar o quanto você coloca nos planos de aposentadoria patrocinados pelo empregador, nas contas de aposentadoria individuais (IRAs) e nas anuidades, nem sempre é fácil saber quanto você vai conseguir. Felizmente, quando se trata de anuidades de taxa fixa ou planos investidos em títulos de taxa fixa, existe uma maneira simples de calcular quanto dinheiro você pode esperar ter disponível após a aposentadoria, com base no quanto você coloca na conta durante seus anos de trabalho .