Definição de Teorema de Bayes
O teorema de Bayes, nomeado em homenagem ao matemático britânico Thomas Bayes do século XVIII, é uma fórmula matemática para determinar a probabilidade condicional. O teorema fornece uma maneira de revisar previsões ou teorias existentes (atualizar probabilidades) com base em evidências novas ou adicionais. Em finanças, o teorema de Bayes pode ser usado para classificar o risco de emprestar dinheiro a potenciais tomadores de empréstimos.
O teorema de Bayes também é chamado de Regra de Bayes ou Lei de Bayes e é a base do campo das estatísticas bayesianas.
Principais Takeaways
- O Teorema de Bayes permite atualizar as probabilidades previstas de um evento incorporando novas informações.
- O Teorema de Bayes foi nomeado após o matemático do século XVIII Thomas Bayes.
- É frequentemente empregado em finanças na atualização da avaliação de riscos.
A fórmula para o teorema de Bayes é
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) onde: P (A) = A probabilidade de ocorrência de AP (B) = A probabilidade de ocorrência de BP (A∣B) = A probabilidade de A dada BP (B∣A) = A probabilidade de B dada AP (A⋂B)) = A probabilidade de ocorrência de A e B \ begin {alinhado} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {onde:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {A probabilidade de A ocorrer} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {A probabilidade de B ocorrer} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {A probabilidade de A dado B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {A probabilidade de B dada A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {A probabilidade de ocorrência de A e B} \\ \ end {alinhado} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) onde: P (A) = A probabilidade de ocorrência de AP (B) = A probabilidade de ocorrência de BP (A∣B) = A probabilidade de A dada BP (B∣A) = A probabilidade de B dada AP (A⋂B)) = A probabilidade de ocorrência de A e B
O Teorema de Bayes Explicado
As aplicações do teorema são amplas e não se limitam ao domínio financeiro. Como exemplo, o teorema de Bayes pode ser usado para determinar a precisão dos resultados dos exames médicos, levando em consideração a probabilidade de uma pessoa ter uma doença e a precisão geral do teste. O teorema de Bayes baseia-se na incorporação de distribuições de probabilidade anteriores, a fim de gerar probabilidades posteriores. Probabilidade anterior, na inferência estatística bayesiana, é a probabilidade de um evento antes da coleta de novos dados. Essa é a melhor avaliação racional da probabilidade de um resultado com base no conhecimento atual antes de um experimento ser realizado. Probabilidade posterior é a probabilidade revisada de um evento que ocorre após levar em consideração novas informações. A probabilidade posterior é calculada atualizando a probabilidade anterior usando o teorema de Bayes. Em termos estatísticos, a probabilidade posterior é a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu.
O teorema de Bayes, portanto, fornece a probabilidade de um evento com base em novas informações que são ou podem estar relacionadas a esse evento. A fórmula também pode ser usada para ver como a probabilidade de ocorrência de um evento é afetada por novas informações hipotéticas, supondo que as novas informações sejam verdadeiras. Por exemplo, digamos que uma única carta seja retirada de um baralho completo de 52 cartas. A probabilidade de a carta ser rei é 4 dividida por 52, o que equivale a 1/13 ou aproximadamente 7, 69%. Lembre-se de que existem 4 reis no convés. Agora, suponha que seja revelado que o cartão selecionado é um cartão de face. A probabilidade de a carta selecionada ser rei, dado que é uma carta de face, é 4 dividida por 12, ou aproximadamente 33, 3%, pois existem 12 cartas de face em um baralho.
Derivando a fórmula do teorema de Bayes com um exemplo
O teorema de Bayes segue simplesmente dos axiomas da probabilidade condicional. Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento, dado que outro evento ocorreu. Por exemplo, uma pergunta simples de probabilidade pode perguntar: "Qual é a probabilidade do preço das ações Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) cair?" A probabilidade condicional leva essa questão um passo adiante, perguntando: "Qual é a probabilidade do preço das ações da AMZN cair, uma vez que o índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) caiu mais cedo?"
A probabilidade condicional de A, dado que B aconteceu, pode ser expressa como:
Se A for: "O preço da AMZN cai", então P (AMZN) é a probabilidade de a AMZN cair; e B é: "DJIA já está em baixa" e P (DJIA) é a probabilidade de o DJIA cair; então a expressão de probabilidade condicional é lida como "a probabilidade de queda do AMZN devido a um declínio do DJIA é igual à probabilidade de o preço do AMZN cair e o DJIA diminuir devido à probabilidade de uma queda no índice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN e DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN e DJIA) é a probabilidade de ocorrência de A e B. Também é a mesma que a probabilidade de ocorrência de A multiplicada pela probabilidade de ocorrer B, dado que ocorre A, expressa em P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). O fato de essas duas expressões serem iguais leva ao teorema de Bayes, que é escrito como:
if, P (AMZN e DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
então, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Onde P (AMZN) e P (DJIA) são as probabilidades de queda da Amazon e do Dow Jones, sem se considerar.
A fórmula explica a relação entre a probabilidade da hipótese antes de ver a evidência de que P (AMZN) e a probabilidade da hipótese depois de obter a evidência P (AMZN | DJIA), dada uma hipótese para a Amazon dada a evidência no Dow.
Exemplo Numérico do Teorema de Bayes
Como exemplo numérico, imagine que um teste de drogas seja 98% exato, ou seja, 98% das vezes ele mostra um verdadeiro resultado positivo para alguém que usa o medicamento e 98% das vezes mostra um verdadeiro resultado negativo para os não usuários do medicamento. droga. Em seguida, suponha que 0, 5% das pessoas usem a droga. Se uma pessoa selecionada em testes aleatórios positivos para a droga, o seguinte cálculo pode ser feito para verificar se a probabilidade de a pessoa ser realmente usuário da droga.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
O teorema de Bayes mostra que, mesmo que uma pessoa tenha um resultado positivo nesse cenário, é muito mais provável que a pessoa não seja usuária da droga.
Compare contas de investimento Nome do provedor Descrição Divulgação do anunciante × As ofertas que aparecem nesta tabela são de parcerias das quais a Investopedia recebe remuneração.