Duração de Macaulay
A duração de Macaulay é o prazo médio ponderado até o vencimento dos fluxos de caixa de um título. O peso de cada fluxo de caixa é determinado dividindo o valor presente do fluxo de caixa pelo preço. A duração de Macaulay é freqüentemente usada pelos gerentes de portfólio que usam uma estratégia de imunização.
A duração de Macaulay pode ser calculada:
Duração de Macaulay = =t = 1n (t × C (1 + y) t + n × M (1 + y) n) Preço atual dos títulos: t = período de tempo respectivoC = pagamento periódico do cupomC = pagamento periódico do cupom = rendimento periódico = rendimento periódico = número total de períodosM = Valor do vencimentoPreço do título atual = Valor atual dos fluxos de caixa \ begin {align}} & \ text {Macaulay Duration} = \ frac {\ sum_ {t = 1} ^ {n} \ left (\ frac {t \ times C} { (1 + y) ^ t} + \ frac {n \ times M} {(1 + y) ^ n} \ right)} {\ text {Preço atual dos títulos}} \\ & \ textbf {where:} \\ & t = \ text {Período de tempo respectivo} \\ & C = \ text {Pagamento periódico do cupom} \\ & y = \ text {Rendimento periódico} \\ & n = \ text {Número total de períodos} \\ & M = \ text {Maturidade valor} \\ & \ text {Preço atual dos títulos} = \ text {Valor presente dos fluxos de caixa} \\ \ end {alinhado} Duração de Macaulay = Preço atual dos títulos∑t = 1n ((1 + y) tt × C + (1 + y) nn × M) em que: t = Período de tempo respectivoC = Pagamento periódico do cupom = Rendimento periódicon = Número total de períodosM = Valor do vencimentoPreço atual do título = Valor atual dos fluxos de caixa
1:26Duração de Macaulay
REPARANDO Macaulay Duração
A métrica recebeu o nome de seu criador, Frederick Macaulay. A duração de Macaulay pode ser vista como o ponto de equilíbrio econômico de um grupo de fluxos de caixa. Outra maneira de interpretar a estatística é que é o número médio ponderado de anos em que um investidor deve manter uma posição no título até que o valor presente dos fluxos de caixa do título seja igual ao valor pago pelo título.
Fatores que afetam a duração
O preço, o vencimento, o cupom e o rendimento de um título até o vencimento são todos fatores no cálculo da duração. Tudo o resto é igual, à medida que a maturidade aumenta, a duração aumenta. À medida que o cupom de um título aumenta, sua duração diminui. À medida que as taxas de juros aumentam, a duração diminui e a sensibilidade do título a novos aumentos nas taxas de juros diminui. Além disso, o fundo de amortização em vigor, um pré-pagamento programado antes do vencimento e as provisões de compra diminuem a duração de um título.
Exemplo de cálculo
O cálculo da duração de Macaulay é direto. Suponha que um título de valor nominal de US $ 1.000 pague um cupom de 6% e venca em três anos. As taxas de juros são de 6% ao ano com composição semestral. O título paga o cupom duas vezes por ano e paga o principal no pagamento final. Diante disso, os seguintes fluxos de caixa são esperados para os próximos três anos:
Período 1: US $ 30Período 2: US $ 30Período 3: US $ 30Período 4: US $ 30Período 5: US $ 30Período 6: US $ 1.030 \ begin {alinhado} & \ text {Período 1}: \ US $ 30 \\ & \ text {Período 2}: \ $ 30 \\ & \ text {Período 3}: \ $ 30 \\ & \ text {Período 4}: \ $ 30 \\ & \ text {Período 5}: \ $ 30 \\ & \ text {Período 6}: \ $ 1, 030 \\ \ end {alinhado} Período 1: US $ 30Período 2: US $ 30Período 3: US $ 30Período 4: US $ 30Período 5: US $ 30Período 6: US $ 1.030
Com os períodos e os fluxos de caixa conhecidos, um fator de desconto deve ser calculado para cada período. É calculado como 1 / (1 + r) n, onde r é a taxa de juros e n é o número do período em questão. A taxa de juros, r, composta semestralmente é de 6% / 2 = 3%. Assim, os fatores de desconto seriam:
O valor do frete é calculado automaticamente pelo Mercado Envios, o prazo de entrega varia de acordo com a forma de envio escolhida e não é de nossa responsabilidade``já que a entrega fica a cargo dos Correios. 4 Fator de desconto: 1 ÷ (1 + 0, 03) 4 = 0, 8885Período 5 Fator de desconto: 1 ÷ (1 + 0, 03) 5 = 0, 8626Período 6 Fator de desconto: 1 ÷ (1 + 0, 03) 6 = 0, 8375 \ begin { alinhado} & \ text {Fator de desconto do período 1}: 1 \ div (1 + 0, 03) ^ 1 = 0, 9709 \\ & \ text {Fator de desconto do período 2}: 1 \ div (1 + 0, 03) ^ 2 = 0, 9426 \\ & \ text {Fator de desconto do período 3}: 1 \ div (1 + 0, 03) ^ 3 = 0, 9151 \\ & \ text {Fator de desconto do período 4}: 1 \ div (1 + 0, 03) ^ 4 = 0, 8885 \\ & \ text {Fator de desconto do período 5}: 1 \ div (1 + 0, 03) ^ 5 = 0, 8626 \\ & \ text {Fator de desconto do período 6}: 1 \ div (1 + 0, 03) ^ 6 = 0, 8375 \\ \ end {aligned} Fator de desconto do período 1: 1 ÷ (1 + .03) 1 = 0, 9709Período 2 Fator de desconto: 1 ÷ (1 + .03) 2 = 0, 9426Fator de desconto do período 3: 1 ÷ (1+ .03) 3 = 0, 9151 Fator de desconto do período 4: 1 ÷ (1 + 0, 03) 4 = 0, 8885 Fator de desconto do período 5: 1 ÷ (1 + 0, 03) 5 = 0, 8626 Fator de desconto do período 6: 1 ÷ (1 + 0, 03 ) 6 = 0, 8375
Em seguida, multiplique o fluxo de caixa do período pelo número do período e pelo fator de desconto correspondente para encontrar o valor presente do fluxo de caixa:
O valor do frete é calculado automaticamente pelo Mercado Envios, o prazo de entrega varia de acordo com a forma de envio escolhida e não é de nossa responsabilidade``já que a entrega fica a cargo dos Correios. $ 129, 39Período 6: 6 × $ 1.030 × 0, 8375 = $ 5.175, 65∑ Período = 16 = $ 5.579, 71 = numerador \ begin {alinhado} & \ text {Período 1}: 1 \ times \ $ 30 \ times 0.9709 = \ $ 29.13 \\ & \ text {Period 2}: 2 \ times \ $ 30 \ times 0.9426 = \ $ 56.56 \\ & \ text {Período 3}: 3 \ times \ $ 30 \ times 0.9151 = \ $ 82.36 \\ & \ text {Período 4}: 4 \ times \ $ 30 \ times 0.8885 = \ $ 106.62 \\ & \ text {Period 5}: 5 \ times \ $ 30 \ times 0.8626 = \ $ 129.39 \\ & \ text {Period 6}: 6 \ times \ $ 1.030 \ times 0.8375 = \ $ 5.175.65 \\ & \ sum _ {\ text {Period} = 1} ^ {6} = \ $ 5, 579.71 = \ text {numerator} \\ \ end {alinhado} Período 1: 1 × $ 30 × 0, 9709 = $ 29, 13Período 2: 2 × $ 30 × O valor do frete é calculado automaticamente pelo Mercado Envios, o prazo de entrega varia de acordo com a forma de envio escolhida e não é de nossa responsabilidade``já que a entrega fica a cargo dos Correios. $ 5.579, 71 = numerador
Preço do título atual = ∑ Fluxos de caixa PV = 16Preço do título atual = 30 ÷ (1 + 0, 03) 1 + 30 ÷ (1 + 0, 03) 2 Preço do título atual = + ⋯ + 1030 ÷ (1 + 0, 03) 6Preço atual do título = $ 1.000Preço atual do título = denominador \ begin {alinhado} & \ text {Preço atual do título} = \ sum _ {\ text {Fluxos de caixa PV} = 1} ^ {6} \\ & \ phantom {\ text {Preço atual do título }} = 30 \ div (1 + 0, 03) ^ 1 + 30 \ div (1 + 0, 03) ^ 2 \\ & \ phantom {\ text {Preço atual dos títulos} =} + \ cdots + 1030 \ div (1 + .03) ^ 6 \\ & \ phantom {\ text {Preço atual dos títulos}} = \ $ 1, 000 \\ & \ phantom {\ text {Preço atual dos títulos}} = \ text {denominador} \\ \ end {alinhado} Preço do título atual = fluxos de caixa PV = 1∑6 Preço do título atual = 30 ÷ (1 + 0, 03) 1 + 30 ÷ (1 + 0, 03) 2Preço do título atual = + ⋯ + 1030 ÷ (1 + 0, 03) 6Preço dos títulos correntes = $ 1.000Preço dos títulos correntes = denominador
(Observe que, como a taxa do cupom e a taxa de juros são as mesmas, o título será negociado no par)
Duração de Macaulay = $ 5.579, 71 ÷ $ 1.000 = 5, 58 \ begin {alinhado} & \ text {Duração de Macaulay} = \ $ 5, 579, 71 \ div \ $ 1, 000 = 5, 58 \\ \ end {alinhado} Duração de Macaulay = $ 5.579, 71 ÷ $ 1, 000 = 5, 58
Um título pagador de cupom sempre terá sua duração menor que o tempo até o vencimento. No exemplo acima, a duração de 5, 58 semestres é menor que o tempo de vencimento de seis semestres. Em outras palavras, 5, 58 / 2 = 2, 79 anos é menor que três anos.
(Para leitura adicional, consulte Duração de Macauley vs. Duração modificada )
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