Juros compostos contínuos

Juros compostos são os juros calculados sobre o principal inicial e também sobre os juros acumulados de períodos anteriores de um depósito ou empréstimo. O efeito do interesse composto depende da frequência.

Suponha uma taxa de juros anual de 12%. Se começarmos o ano com US $ 100 e compostos apenas uma vez, no final do ano, o principal aumentará para US $ 112 (US $ 100 x 1, 12 = US $ 112). Se, ao invés disso, compormos cada mês em 1%, acabamos com mais de US $ 112 no final do ano. Ou seja, R $ 100 x 1, 01 ^ 12 a R $ 112, 68. (É mais alto porque agimos com mais frequência.)

Os retornos continuamente compostos compõem o mais frequente de todos. Composição contínua é o limite matemático que o interesse composto pode atingir. É um caso extremo de composição, uma vez que a maioria dos juros é composta mensalmente, trimestralmente ou semestralmente.

Taxas semestrais de retorno

Primeiro, vamos dar uma olhada em uma convenção potencialmente confusa. No mercado de títulos, nos referimos a um rendimento equivalente a títulos (ou base equivalente a títulos). Isso significa que, se um título rende 6% semestralmente, seu rendimento equivalente ao título é 12%.

figura 1

O rendimento semestral é simplesmente duplicado. Isso é potencialmente confuso porque o rendimento efetivo de um bônus de rendimento equivalente a 12% é de 12, 36% (ou seja, 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Dobrar o rendimento semestral é apenas uma convenção de nomenclatura de títulos. Portanto, se lemos sobre um título de 8% composto semestralmente, assumimos que isso se refere ao rendimento semestral de 4%.

Taxas de retorno trimestrais, mensais e diárias

Agora, vamos discutir frequências mais altas. Ainda estamos assumindo uma taxa de juros anual de 12% no mercado. Sob as convenções de nomenclatura de títulos, isso implica em uma taxa composta semestral de 6%. Agora podemos expressar a taxa composta trimestral em função da taxa de juros do mercado.

Figura 2

Dada uma taxa anual de mercado ( r), a taxa composta trimestral ( r _q ) é dada por:

Portanto, para o nosso exemplo, onde a taxa anual de mercado é de 12%, a taxa composta trimestral é de 11, 825%:

Figura 3

Uma lógica semelhante se aplica à composição mensal. A taxa composta mensal ( r _m ) é dada aqui como função da taxa de juros anual do mercado ( r):

A taxa composta diária ( d) em função da taxa de juros de mercado ( r) é dada por:

Como a composição contínua funciona

Figura 4

Se aumentarmos a frequência composta ao seu limite, estaremos compondo continuamente. Embora isso possa não ser prático, a taxa de juros continuamente composta oferece propriedades maravilhosamente convenientes. Acontece que a taxa de juros continuamente composta é dada por:

Ln () é o log natural e, em nosso exemplo, a taxa composta continuamente é, portanto:

Chegamos ao mesmo lugar tomando o logaritmo natural dessa razão: o valor final dividido pelo valor inicial.

Este último é comum ao calcular o retorno continuamente composto de uma ação. Por exemplo, se o estoque saltar de US $ 10 em um dia para US $ 11 no dia seguinte, o retorno diário continuamente composto é dado por:

O que há de tão bom na taxa continuamente composta (ou retorno) que indicaremos com r _c ">

Observe que e é a função exponencial. Por exemplo, se começarmos com US $ 100 e aumentar continuamente a 8% em três anos, a riqueza final será dada por:

O desconto no valor presente (PV) é meramente composto ao contrário, portanto o valor presente de um valor futuro (F) composto continuamente a uma taxa de ( r _c ) é dado por:

Por exemplo, se você receber US $ 100 em três anos com uma taxa contínua de 6%, seu valor presente será dado por:

Dimensionamento ao longo de vários períodos

A propriedade conveniente dos retornos continuamente compostos é que ele se escala em vários períodos. Se o retorno para o primeiro período for de 4% e o retorno para o segundo período for de 3%, o retorno de dois períodos será de 7%. Considere que começamos o ano com US $ 100, que aumentam para US $ 120 no final do primeiro ano e, em seguida, US $ 150 no final do segundo ano. Os retornos continuamente compostos são, respectivamente, 18, 23% e 22, 31%.

Se simplesmente adicionarmos isso, obteremos 40, 55%. Este é o retorno de dois períodos:

Tecnicamente falando, o retorno contínuo é consistente com o tempo. A consistência do tempo é um requisito técnico para o valor em risco (VAR). Isso significa que, se um retorno de período único for uma variável aleatória distribuída normalmente, queremos que as variáveis ​​aleatórias de período múltiplo também sejam distribuídas normalmente. Além disso, o retorno composto de múltiplos períodos continuamente é normalmente distribuído (ao contrário, digamos, de um retorno percentual simples).

A linha inferior

Podemos reformular as taxas de juros anuais em taxas de juros semestrais, trimestrais, mensais ou diárias (ou taxas de retorno). A composição mais frequente é a composição contínua, que exige o uso de um log natural e uma função exponencial, comumente usada em finanças devido às suas propriedades desejáveis ​​- ela pode ser facilmente escalonada por vários períodos e é consistente com o tempo.