Black Scholes Model
O modelo Black Scholes, também conhecido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), é um modelo matemático para a precificação de um contrato de opções. Em particular, o modelo estima a variação ao longo do tempo de instrumentos financeiros, como ações, e o uso da volatilidade implícita do ativo subjacente deriva o preço de uma opção de compra.
Principais Takeaways
- O modelo Black-Scholes Merton (BSM) é uma equação diferencial usada para resolver os preços das opções.
- O modelo ganhou o prêmio Nobel de economia.
- O modelo BSM padrão é usado apenas para precificar opções europeias e não leva em conta que as opções dos EUA poderiam ser exercidas antes da data de vencimento.
O básico do modelo Black Scholes
O modelo assume que o preço dos ativos fortemente negociados segue um movimento browniano geométrico, com deriva e volatilidade constantes. Quando aplicado a uma opção de compra de ações, o modelo incorpora a variação constante do preço das ações, o valor temporal do dinheiro, o preço de exercício da opção e o tempo para o vencimento da opção.
Também chamado de Black-Scholes-Merton, foi o primeiro modelo amplamente utilizado para precificação de opções. É usado para calcular o valor teórico das opções usando preços atuais das ações, dividendos esperados, preço de exercício da opção, taxas de juros esperadas, tempo de vencimento e volatilidade esperada.
A fórmula, desenvolvida por três economistas - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton - é talvez o modelo de precificação de opções mais conhecido do mundo. Foi introduzido em seu artigo de 1973, "O preço das opções e do passivo corporativo", publicado no Journal of Political Economy . Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivativos (o Prêmio Nobel não é concedido postumamente; no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no Modelo Black-Scholes).
O modelo Black-Scholes faz certas suposições:
- A opção é européia e só pode ser exercida no vencimento.
- Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção.
- Os mercados são eficientes (isto é, movimentos de mercado não podem ser previstos).
- Não há custos de transação na compra da opção.
- A taxa livre de risco e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes.
- Os retornos no subjacente são normalmente distribuídos.
Enquanto o modelo Black-Scholes original não considerou os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo é frequentemente adaptado para contabilizar dividendos, determinando o valor da data ex-dividendo das ações subjacentes.
A fórmula de Black Scholes
A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidadora. Felizmente, você não precisa conhecer nem entender a matemática para usar a modelagem de Black-Scholes em suas próprias estratégias. Os traders de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line, e muitas das plataformas de negociação atuais possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que realizam os cálculos e produzem os valores de preços das opções.
A fórmula da opção de compra Black Scholes é calculada multiplicando o preço das ações pela função de distribuição de probabilidade normal padrão cumulativa. Posteriormente, o valor presente líquido (VPL) do preço de exercício multiplicado pela distribuição normal padrão acumulada é subtraído do valor resultante do cálculo anterior.
Em notação matemática:
C = StN (d1) -Ke-rtN (d2) em que: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 −sσ twhere: C = opção de compra priceS = estoque atual da opção (ou outro subjacente) priceK = preço de exercício = Taxa de juros livre de risco = Tempo até o vencimentoN = Uma distribuição normal \ begin {alinhado} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {where:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {e} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {onde:} \\ & C = \ text {Preço da opção de compra} \\ & S = \ text {Estoque atual (ou outro subjacente) preço} \\ & K = \ text {Preço de exercício} \\ & r = \ text {Taxa de juros livre de risco} \\ & t = \ text {Tempo até o vencimento} \\ & N = \ text {Uma distribuição normal} \ \ \ end {alinhado} C = St N (d1) -Ke-rtN (d2) em que: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) ted2 = d1 −σs t onde: C = opção de compra priceS = estoque atual (ou outro subjacente) preçoK = preço de exercício inicial = taxa de juros livre de risco = tempo de vencimentoN = distribuição normal
1:33Modelo Black-Scholes
O que o modelo Black Scholes lhe diz?
O modelo Black Scholes é um dos conceitos mais importantes da teoria financeira moderna. Foi desenvolvido em 1973 por Fischer Black, Robert Merton e Myron Scholes e ainda hoje é amplamente utilizado. É considerado uma das melhores maneiras de determinar preços justos das opções. O modelo Black Scholes requer cinco variáveis de entrada: o preço de exercício de uma opção, o preço atual das ações, o tempo de vencimento, a taxa livre de risco e a volatilidade.
O modelo assume que os preços das ações seguem uma distribuição lognormal porque os preços dos ativos não podem ser negativos (eles são limitados por zero). Isso também é conhecido como distribuição gaussiana. Frequentemente, observa-se que os preços dos ativos apresentam uma distorção correta significativa e algum grau de curtose (caudas gordas). Isso significa que movimentos descendentes de alto risco geralmente acontecem com mais frequência no mercado do que uma distribuição normal prevê.
A suposição de preços de ativos subjacentes lognormal deve, portanto, mostrar que as volatilidades implícitas são semelhantes para cada preço de exercício de acordo com o modelo Black-Scholes. No entanto, desde o colapso do mercado de 1987, as volatilidades implícitas nas opções monetárias têm sido menores do que aquelas que estão mais afastadas ou distantes do dinheiro. A razão para esse fenômeno é que o mercado está precificando com maior probabilidade de uma alta volatilidade passar para o lado negativo dos mercados.
Isso levou à presença de distorção da volatilidade. Quando as volatilidades implícitas para opções com a mesma data de vencimento são mapeadas em um gráfico, pode ser visto um sorriso ou uma forma de inclinação. Assim, o modelo de Black-Scholes não é eficiente para calcular a volatilidade implícita.
Limitações do modelo Black Scholes
Como afirmado anteriormente, o modelo Black Scholes é usado apenas para precificar opções europeias e não leva em consideração que as opções americanas poderiam ser exercidas antes da data de vencimento. Além disso, o modelo pressupõe dividendos e as taxas sem risco são constantes, mas isso pode não ser verdade na realidade. O modelo também pressupõe que a volatilidade permaneça constante ao longo da vida útil da opção, o que não ocorre porque a volatilidade varia com o nível de oferta e demanda.
Além disso, o modelo assume que não há custos ou impostos de transação; que a taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos; que venda a descoberto de valores mobiliários com uso de recursos é permitida; e que não existem oportunidades de arbitragem sem risco. Essas premissas podem levar a preços que se desviam do mundo real onde esses fatores estão presentes.