Soma dos Quadrados
Soma dos quadrados é uma técnica estatística usada na análise de regressão para determinar a dispersão dos pontos de dados. Em uma análise de regressão, o objetivo é determinar até que ponto uma série de dados pode ser ajustada a uma função que possa ajudar a explicar como a série de dados foi gerada. A soma dos quadrados é usada como uma maneira matemática de encontrar a função que melhor se ajusta (varia menos) a partir dos dados.
A fórmula da soma dos quadrados é
Para um conjunto X de n itens: Soma dos quadrados = ∑i = 0n (Xi-X‾) 2 em que: Xi = O i-ésimo item no conjuntoX‾ = A média de todos os itens no conjunto (Xi-X‾) = O desvio de cada item da média \ begin {alinhado} e \ text {Para um conjunto} X \ text {of} n \ text {items:} \\ & \ text {Soma dos quadrados} = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ left (X_i- \ overline {X} \ right) ^ 2 \\ & \ textbf {onde:} \\ & X_i = \ text {O} i ^ {th} \ text {item no conjunto} \\ & \ overline {X} = \ text {A média de todos os itens do conjunto} \\ & \ left (X_i- \ overline {X} \ right) = \ text {O desvio de cada item do média} \\ \ end {alinhado} Para um conjunto X de n itens: Soma dos quadrados = i = 0∑n (Xi-X) 2 em que: Xi = O i-ésimo item no conjuntoX = A média de todos itens no conjunto (Xi-X) = O desvio de cada item da média
A soma dos quadrados também é conhecida como variação.
O que a soma dos quadrados diz a você?
A soma dos quadrados é uma medida de desvio da média. Nas estatísticas, a média é a média de um conjunto de números e é a medida de tendência central mais comumente usada. A média aritmética é simplesmente calculada somando os valores no conjunto de dados e dividindo pelo número de valores.
Digamos que os preços de fechamento da Microsoft (MSFT) nos últimos cinco dias foram 74, 01, 74, 77, 73, 94, 73, 61 e 73, 40 em dólares americanos. A soma dos preços totais é de $ 369, 73 e o preço médio ou médio do livro seria, portanto, $ 369, 73 / 5 = $ 73, 95.
Mas conhecer a média de um conjunto de medidas nem sempre é suficiente. Às vezes, é útil saber quanta variação existe em um conjunto de medidas. A distância entre os valores individuais e a média pode fornecer algumas dicas sobre a adequação das observações ou valores ao modelo de regressão criado.
Por exemplo, se um analista quiser saber se o preço das ações da MSFT se aproxima do preço da Apple (AAPL), ele pode listar o conjunto de observações para o processo de ambas as ações por um determinado período, digamos 1, 2 ou 10 anos e crie um modelo linear com cada uma das observações ou medidas registradas. Se o relacionamento entre as duas variáveis (ou seja, o preço da AAPL e o preço da MSFT) não for linear, haverá variações no conjunto de dados que precisam ser examinadas.
Em termos estatísticos, se a linha do modelo linear criado não passar por todas as medições de valor, parte da variabilidade observada nos preços das ações é inexplicável. A soma dos quadrados é usada para calcular se existe uma relação linear entre duas variáveis, e qualquer variabilidade inexplicada é referida como a soma residual dos quadrados.
A soma dos quadrados é a soma do quadrado da variação, em que a variação é definida como o spread entre cada valor individual e a média. Para determinar a soma dos quadrados, a distância entre cada ponto de dados e a linha de melhor ajuste é ao quadrado e depois somada. A linha de melhor ajuste minimizará esse valor.
Como calcular a soma dos quadrados
Agora você pode ver por que a medida é chamada soma dos desvios quadrados ou soma dos quadrados, abreviado. Usando nosso exemplo MSFT acima, a soma dos quadrados pode ser calculada como:
- SS = (74, 01 - 73, 95) 2 + (74, 77 - 73, 95) 2 + (73, 94 - 73, 95) 2 + (73, 61 - 73, 95) 2 + (73, 40 - 73, 95) 2
- SS = (0, 06) 2 + (0, 82) 2 + (-0, 01) 2 + (-0, 34) 2 + (-0, 55) 2
- SS = 1.0942
Adicionar a soma dos desvios sozinho, sem quadratura, resultará em um número igual ou próximo de zero, pois os desvios negativos compensarão quase perfeitamente os desvios positivos. Para obter um número mais realista, a soma dos desvios deve ser elevada ao quadrado. A soma dos quadrados sempre será um número positivo porque o quadrado de qualquer número, positivo ou negativo, é sempre positivo.
Exemplo de como usar a soma dos quadrados
Com base nos resultados do cálculo do MSFT, uma alta soma de quadrados indica que a maioria dos valores está mais distante da média e, portanto, há grande variabilidade nos dados. Uma baixa soma de quadrados refere-se a baixa variabilidade no conjunto de observações.
No exemplo acima, 1.0942 mostra que a variabilidade no preço das ações da MSFT nos últimos cinco dias é muito baixa e os investidores que desejam investir em ações caracterizadas por estabilidade de preços e baixa volatilidade podem optar pela MSFT.
Principais Takeaways
- A soma dos quadrados mede o desvio dos pontos de dados em relação ao valor médio.
- Um resultado mais alto da soma dos quadrados indica um grande grau de variabilidade no conjunto de dados, enquanto um resultado mais baixo indica que os dados variam consideravelmente em relação ao valor médio.
Limitações do uso da soma dos quadrados
Tomar uma decisão de investimento sobre qual estoque comprar requer muito mais observações do que as listadas aqui. Um analista pode ter que trabalhar com anos de dados para saber com maior segurança quão alta ou baixa é a variabilidade de um ativo. À medida que mais pontos de dados são adicionados ao conjunto, a soma dos quadrados se torna maior à medida que os valores se espalham mais.
As medidas de variação mais usadas são o desvio padrão e a variância. No entanto, para calcular uma das duas métricas, a soma dos quadrados deve ser calculada primeiro. A variação é a média da soma dos quadrados (ou seja, a soma dos quadrados dividida pelo número de observações). O desvio padrão é a raiz quadrada da variação.
Existem dois métodos de análise de regressão que usam a soma dos quadrados: o método dos mínimos quadrados lineares e o método dos mínimos quadrados não lineares. O método dos mínimos quadrados refere-se ao fato de que a função de regressão minimiza a soma dos quadrados da variação dos pontos de dados reais. Dessa maneira, é possível desenhar uma função que forneça estatisticamente o melhor ajuste para os dados. Observe que uma função de regressão pode ser linear (uma linha reta) ou não linear (uma linha curva).
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