Otimize seu portfólio usando a distribuição normal

A distribuição normal é a distribuição de probabilidade que plota todos os seus valores de maneira simétrica, com a maioria dos resultados situados em torno da média da probabilidade.

Distribuição normal (curva de sino)

Conjuntos de dados (como a altura de 100 humanos, notas obtidas por 45 alunos de uma turma etc.) tendem a ter muitos valores no mesmo ponto de dados ou dentro do mesmo intervalo. Essa distribuição de pontos de dados é chamada de distribuição normal ou curva de sino.

Por exemplo, em um grupo de 100 indivíduos, 10 podem ter menos de um metro e meio de altura, 65 podem estar entre 5 e 5, 5 pés e 25 podem estar acima de 5, 5 pés. Essa distribuição limitada ao intervalo pode ser plotada da seguinte maneira:

Da mesma forma, os pontos de dados plotados em gráficos para qualquer conjunto de dados podem se parecer com diferentes tipos de distribuições. Três das mais comuns são distribuições alinhadas à esquerda, alinhadas à direita e desordenadas:

Observe a linha de tendência vermelha em cada um desses gráficos. Isso indica aproximadamente a tendência de distribuição de dados. O primeiro, "Distribuição alinhada à esquerda", indica que a maioria dos pontos de dados fica no intervalo mais baixo. No segundo gráfico “Distribuição alinhada à DIREITA”, a maioria dos pontos de dados cai na extremidade superior do intervalo, enquanto o último, “Distribuição desordenada”, representa um conjunto de dados mistos sem nenhuma tendência clara.

Existem muitos casos em que a distribuição dos pontos de dados tende a ser em torno de um valor central, e esse gráfico mostra uma distribuição normal perfeita - igualmente equilibrada em ambos os lados, com o maior número de pontos de dados concentrados no centro.

Aqui está um conjunto de dados perfeito e normalmente distribuído:

O valor central aqui é 50 (que tem o maior número de pontos de dados) e a distribuição diminui uniformemente em direção aos valores finais extremos de 0 e 100 (que têm o menor número de pontos de dados). A distribuição normal é simétrica em torno do valor central, com metade dos valores de cada lado.

Muitos exemplos da vida real se encaixam na distribuição da curva de sino:

• Jogue uma moeda justa muitas vezes (digamos 100 vezes ou mais) e você obterá uma distribuição normal equilibrada de cara e coroa.
• Lance um par de dados justos várias vezes (digamos 100 vezes ou mais) e o resultado será uma distribuição normal e equilibrada, centralizada em torno do número 7 e diminuindo uniformemente para valores extremos de 2 e 12.
• A altura dos indivíduos em um grupo de tamanho considerável e as notas obtidas pelas pessoas em uma classe seguem padrões normais de distribuição.
• Em finanças, alterações nos valores do log presume-se que as taxas de câmbio, os índices de preços e os preços das ações sejam distribuídos normalmente.

Riscos e retornos

Qualquer investimento tem dois aspectos: risco e retorno. Os investidores procuram o menor risco possível para o maior retorno possível. A distribuição normal quantifica esses dois aspectos pela média para retornos e desvio padrão para risco. (Para saber mais, consulte "Análise de variação média".)

Valor médio ou esperado

Uma mudança média específica do preço de uma ação pode ser de 1, 5% diariamente - o que significa que, em média, aumenta 1, 5%. Esse valor médio ou valor esperado, significando retorno, pode ser alcançado através do cálculo da média em um conjunto de dados grande o suficiente contendo alterações diárias históricas dos preços desse estoque. Quanto maior a média, melhor.

Desvio padrão

O desvio padrão indica a quantidade pela qual os valores divergem, em média, da média. Quanto maior o desvio padrão, mais arriscado é o investimento, pois leva a mais incerteza.

Aqui está uma representação gráfica do mesmo:

Portanto, a representação gráfica da distribuição normal através de sua média e desvio padrão permite a representação de retornos e riscos dentro de uma faixa claramente definida.

Ajuda a saber (e ter certeza) que, se algum conjunto de dados seguir o padrão de distribuição normal, sua média nos permitirá saber o que retorna a esperar, e seu desvio padrão nos permitirá saber que cerca de 68% dos valores estará dentro de 1 desvio padrão, 95% dentro de 2 desvios padrão e 99% dos valores cairão dentro de 3 desvios padrão. Um conjunto de dados com média de 1, 5 e desvio padrão de 1 é muito mais arriscado que outro conjunto de dados com média de 1, 5 e desvio padrão de 0, 1.

O conhecimento desses valores para cada ativo selecionado (ou seja, ações, títulos e fundos) tornará o investidor ciente dos retornos e riscos esperados.

É fácil aplicar esse conceito e representar o risco e o retorno de uma única ação, título ou fundo. Mas isso pode ser estendido a um portfólio de vários ativos ">

Os indivíduos começam a negociar comprando uma única ação ou título ou investindo em um fundo mútuo. Gradualmente, eles tendem a aumentar suas participações e comprar várias ações, fundos ou outros ativos, criando assim um portfólio. Nesse cenário incremental, os indivíduos criam seus portfólios sem uma estratégia ou muita premeditação. Gestores de fundos profissionais, comerciantes e formadores de mercado seguem um método sistemático para construir seu portfólio usando uma abordagem matemática chamada teoria moderna de portfólio (MPT), baseada no conceito de "distribuição normal".

Teoria do Portfólio Moderno

A teoria moderna de portfólio (MPT) oferece uma abordagem matemática sistemática que visa maximizar o retorno esperado de um portfólio para uma determinada quantidade de risco do portfólio, selecionando as proporções de vários ativos. Como alternativa, também oferece minimizar o risco para um determinado nível de retorno esperado.

Para atingir esse objetivo, os ativos a serem incluídos no portfólio não devem ser selecionados apenas com base em seu próprio mérito individual, mas, em vez disso, no desempenho de cada ativo em relação aos outros ativos do portfólio.

Em resumo, o MPT define a melhor forma de alcançar a diversificação do portfólio para obter os melhores resultados possíveis: retornos máximos para um nível de risco aceitável ou risco mínimo para um nível de retornos desejado.

Os blocos de construção

O MPT era um conceito tão revolucionário quando foi introduzido que seus inventores ganharam um Prêmio Nobre. Essa teoria forneceu com sucesso uma fórmula matemática para orientar a diversificação no investimento.

A diversificação é uma técnica de gerenciamento de riscos, que remove o risco de “todos os ovos em uma cesta” investindo em ações, setores ou classes de ativos não correlacionados. Idealmente, o desempenho positivo de um ativo no portfólio cancelará o desempenho negativo de outros ativos.

Para obter o retorno médio da carteira que possui n ativos diferentes, é calculada a combinação ponderada na proporção dos retornos dos ativos constituintes.

Devido à natureza dos cálculos estatísticos e da distribuição normal, o retorno geral do portfólio (R _p ) é calculado da seguinte forma:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = Riwi Ri

A soma (∑), onde wi é o peso proporcional do ativo i na carteira, Ri é o retorno (médio) do ativo i.

O risco do portfólio (ou desvio padrão) é uma função das correlações dos ativos incluídos, para todos os pares de ativos (um em relação ao outro no par).

Devido à natureza dos cálculos estatísticos e da distribuição normal, o risco geral do portfólio (Pd-dev) _p é calculado da seguinte forma:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ begin {alinhado} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {alinhado} (Std-dev) p = sqrt [ij j wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] O que outras pessoas estão dizendo

Aqui, cor-cof é o coeficiente de correlação entre retornos dos ativos iej, e sqrt é a raiz quadrada.

Isso cuida do desempenho relativo de cada ativo em relação ao outro.

Embora isso pareça matematicamente complexo, o conceito simples aplicado aqui inclui não apenas os desvios padrão dos ativos individuais, mas também os relacionados em relação um ao outro.

Um bom exemplo está disponível aqui na Universidade de Washington.

Um exemplo rápido de MPT

Como um experimento mental, vamos imaginar que somos um gerente de portfólio que recebeu capital e é encarregado de quanto capital deve ser alocado para dois ativos disponíveis (A e B), para que o retorno esperado seja maximizado e o risco diminuído.

Também temos os seguintes valores disponíveis:

Ra = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Começando com alocação 50-50 igual para cada ativo A e B, o R _p calcula 0, 111 e (Pd-dev) _p chega a 0, 1323. Uma comparação simples nos diz que, para esse portfólio de 2 ativos, o retorno e o risco estão no meio do caminho entre os valores individuais de cada ativo.

No entanto, nosso objetivo é melhorar o retorno da carteira além da mera média de qualquer ativo individual e reduzir o risco, para que seja menor do que o dos ativos individuais.

Vamos agora assumir uma posição de alocação de capital de 1, 5 no ativo A e uma posição de alocação de capital de -0, 5 no ativo B. (Alocação de capital negativa significa curto-circuito que o estoque e o capital recebido são usados ​​para comprar o excedente do outro ativo com alocação de capital positiva. Em outras palavras, reduzimos o estoque B para 0, 5 vezes o capital e usamos esse dinheiro para comprar o estoque A pelo valor de 1, 5 vezes o capital.)

Usando esses valores, obtemos _Rp como 0, 1604 e (Std-dev) _p como 0, 4005.

Da mesma forma, podemos continuar usando diferentes pesos de alocação para o ativo A e B e chegar a diferentes conjuntos de Rp e (Pd-dev) p. De acordo com o retorno desejado (Rp), pode-se escolher o nível de risco mais aceitável (std-dev) p. Como alternativa, para o nível de risco desejado, é possível selecionar o melhor retorno do portfólio disponível. De qualquer forma, através deste modelo matemático da teoria do portfólio, é possível atingir o objetivo de criar um portfólio eficiente com a combinação desejada de risco e retorno.

O uso de ferramentas automatizadas permite detectar com facilidade e facilidade as melhores proporções alocadas possíveis com facilidade, sem a necessidade de cálculos manuais demorados.

A fronteira eficiente, o CAPM (Capital Asset Pricing Model) e a precificação de ativos usando MPT também evoluem do mesmo modelo de distribuição normal e são uma extensão do MPT.

Desafios ao MPT (e distribuição normal subjacente)

Infelizmente, nenhum modelo matemático é perfeito e cada um possui inadequações e limitações.

A suposição básica de que o retorno do preço das ações segue a própria distribuição normal é questionada repetidamente. Há provas empíricas suficientes de casos em que os valores falham em aderir à distribuição normal assumida. Basear modelos complexos em tais suposições pode levar a resultados com grandes desvios.

Indo mais longe no MPT, os cálculos e suposições sobre o coeficiente de correlação e covariância permanecendo fixos (com base em dados históricos) podem não ser necessariamente verdadeiros para os valores futuros esperados. Por exemplo, os mercados de títulos e ações mostraram uma correlação perfeita no mercado do Reino Unido no período de 2001 a 2004, onde os retornos de ambos os ativos caíram simultaneamente. Na realidade, o inverso foi observado em longos períodos históricos anteriores a 2001.

O comportamento do investidor não é levado em consideração neste modelo matemático. Os impostos e os custos de transação são negligenciados, embora seja assumida a alocação fracionada de capital e a possibilidade de curto-circuito.

Na realidade, nenhuma dessas premissas pode ser verdadeira, o que significa que os retornos financeiros realizados podem diferir significativamente dos lucros esperados.

A linha inferior

Os modelos matemáticos fornecem um bom mecanismo para quantificar algumas variáveis ​​com números únicos e rastreáveis. Mas, devido às limitações das suposições, os modelos podem falhar.

A distribuição normal, que forma a base da teoria do portfólio, pode não se aplicar necessariamente a ações e outros padrões de preços de ativos financeiros. A teoria do portfólio, por si só, tem muitas suposições que devem ser examinadas criticamente antes de tomar decisões financeiras importantes.