Duração e convexidade para medir o risco dos títulos

Duração e convexidade são duas ferramentas usadas para gerenciar a exposição ao risco de investimentos em renda fixa. A duração mede a sensibilidade do vínculo às mudanças nas taxas de juros. A convexidade refere-se à interação entre o preço de um título e seu rendimento, à medida que experimenta alterações nas taxas de juros.

Com os títulos de cupom, os investidores confiam em uma métrica conhecida como duração para medir a sensibilidade do preço de um título a alterações nas taxas de juros. Como um título de cupom faz uma série de pagamentos ao longo de sua vida útil, os investidores de renda fixa precisam de maneiras de medir o vencimento médio do fluxo de caixa prometido de um título, para servir como uma estatística resumida do vencimento efetivo do título. A duração faz isso, permitindo que os investidores de renda fixa medam com mais eficácia a incerteza ao gerenciar suas carteiras.

Principais Takeaways

• Com os bônus de cupom, os investidores confiam em uma métrica conhecida como "duração" para medir a sensibilidade do preço de um título às mudanças nas taxas de juros.
• Usando uma ferramenta de gerenciamento de gap, os bancos podem igualar a duração dos ativos e passivos, imunizando efetivamente sua posição geral dos movimentos da taxa de juros.

Duração de um título

Em 1938, o economista canadense Frederick Robertson Macaulay apelidou o conceito de maturidade efetiva de "duração" do título. Ao fazer isso, ele sugeriu que essa duração fosse calculada como a média ponderada dos prazos até o vencimento de cada cupom, ou pagamento do principal, feito pelo título. A fórmula de duração de Macaulay é a seguinte:

D = ∑i = 1Tt ∗ C (1 + r) t + T ∗ F (1 + r) t∑i = 1TC (1 + r) t + F (1 + r) em dois: D = A duração de MacAulay da ligaçãoT = o número de períodos até o vencimentoi = o i-ésimo períodoC = o pagamento periódico do cupomr = o rendimento periódico até o vencimentoF = o valor nominal no vencimento \ begin {alinhado} & D = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {t * C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {T * F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} \\ \ textbf {onde:} \\ & D = \ text {A duração do MacAulay do título} \\ & T = \ text {o número de períodos até o vencimento} \\ & i = \ text {the} i ^ {th} \ text {período} \\ & C = \ text {o pagamento periódico do cupom} \\ & r = \ text {o rendimento periódico até o vencimento} \\ & F = \ text {o valor nominal no vencimento} \\ \ end {alinhado} onde: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tF =i = 1T (1 + r) tt ∗ C + (1 + r) tT ∗ F D = A duração do MacAulay da ligaçãoT = o número de períodos até o vencimentoi = o i-ésimo períodoC = o pagamento periódico do cupomr = o rendimento periódico até o vencimentoF = o valor nominal no vencimento ity

Duração em Gerenciamento de Renda Fixa

A duração é fundamental para o gerenciamento de carteiras de renda fixa, pelos seguintes motivos:

1. É uma estatística resumida simples do vencimento médio efetivo de um portfólio.
2. É uma ferramenta essencial na imunização de carteiras contra risco de taxa de juros.
3. Ele estima a sensibilidade da taxa de juros de um portfólio.

A métrica de duração possui as seguintes propriedades:

• A duração de um título com cupom zero é igual ao tempo até o vencimento.
• Mantendo o vencimento constante, a duração de um título é menor quando a taxa do cupom é maior, devido ao impacto de pagamentos antecipados de cupons mais altos.
• Mantendo a taxa de cupom constante, a duração de um título geralmente aumenta com o tempo até o vencimento. Mas há exceções, como em instrumentos como títulos com desconto profundo, em que a duração pode cair com aumentos nos cronogramas de vencimentos.
• Mantendo outros fatores constantes, a duração dos títulos com cupom é maior quando o rendimento dos títulos até o vencimento é menor. No entanto, para títulos com cupom zero, a duração é igual ao tempo até o vencimento, independentemente do rendimento até o vencimento.
• A duração da perpetuidade do nível é (1 + y) / y. Por exemplo, com um rendimento de 10%, a duração da perpetuidade que paga US $ 100 anualmente será igual a 1, 10 / .10 = 11 anos. No entanto, com um rendimento de 8%, será igual a 1, 08 / .08 = 13, 5 anos. Esse princípio torna óbvio que maturidade e duração podem diferir amplamente. Caso em questão: a maturidade da perpetuidade é infinita, enquanto a duração do instrumento com um rendimento de 10% é de apenas 11 anos. O fluxo de caixa ponderado pelo valor presente no início da vida da perpetuidade domina o cálculo da duração. (Para obter mais informações sobre gerenciamento de portfólio, leia Mecânica de gerenciamento de portfólio de ações e Preparação para uma carreira como gerente de portfólio .)

Duração do Gerenciamento de Lacunas

Muitos bancos exibem descasamentos entre os vencimentos de ativos e passivos. Os passivos bancários, que são principalmente os depósitos devidos aos clientes, geralmente são de curto prazo, com estatísticas de baixa duração. Por outro lado, os ativos de um banco compreendem principalmente empréstimos ou hipotecas comerciais e de consumo pendentes. Esses ativos tendem a ter uma duração mais longa e seus valores são mais sensíveis às flutuações das taxas de juros. Nos períodos em que as taxas de juros disparam inesperadamente, os bancos podem sofrer reduções drásticas no patrimônio líquido, se seus ativos caírem mais em valor do que seus passivos.

Uma técnica chamada gerenciamento de gap, desenvolvida no final da década de 1970 e no início da década de 1980, é uma ferramenta de gerenciamento de risco amplamente utilizada, em que os bancos tentam limitar a "diferença" entre as durações de ativos e passivos. O gerenciamento de lacunas depende muito de hipotecas com taxa ajustável (ARMs), como componentes-chave na redução da duração das carteiras de ativos bancários. Diferentemente das hipotecas convencionais, os ARMs não diminuem de valor quando as taxas de mercado aumentam, porque as taxas pagas estão atreladas à taxa de juros atual.

Do outro lado do balanço, a introdução de certificados de depósito bancário de longo prazo (CD), com prazos fixos até o vencimento, serve para prolongar a duração dos passivos bancários, contribuindo da mesma forma para a redução do déficit de duração. (Saiba mais sobre as lacunas financeiras em Playing the Gap .)

Noções básicas sobre gerenciamento de lacunas

Os bancos empregam o gerenciamento de gap para equiparar as durações de ativos e passivos, imunizando efetivamente sua posição geral dos movimentos da taxa de juros. Em teoria, os ativos e passivos de um banco são aproximadamente iguais em tamanho. Portanto, se suas durações também forem iguais, qualquer alteração nas taxas de juros afetará o valor de ativos e passivos no mesmo grau, e as alterações nas taxas de juros terão conseqüentemente pouco ou nenhum efeito final no patrimônio líquido. Portanto, a imunização com patrimônio líquido requer uma duração de portfólio, ou gap, igual a zero. (Para saber mais sobre ativos e passivos bancários, leia Analisando as demonstrações financeiras de um banco .)

Instituições com obrigações fixas futuras, como fundos de pensão e companhias de seguros, diferem dos bancos porque operam visando a compromissos futuros. Por exemplo, os fundos de pensão são obrigados a manter fundos suficientes para fornecer aos trabalhadores um fluxo de renda após a aposentadoria. À medida que as taxas de juros flutuam, o mesmo ocorre com o valor dos ativos mantidos pelo fundo e com a taxa pela qual esses ativos geram renda. Portanto, os gerentes de portfólio podem querer proteger (imunizar) o valor acumulado futuro do fundo em alguma data-alvo, contra movimentos da taxa de juros. Em outras palavras, a imunização protege ativos e passivos com duração correspondente, para que um banco possa cumprir suas obrigações, independentemente dos movimentos da taxa de juros. (Leia mais sobre as obrigações dos fundos de pensão em Analisando o risco de pensão .)

Convexidade na gestão de renda fixa

Infelizmente, a duração tem limitações quando usada como uma medida da sensibilidade da taxa de juros. Enquanto a estatística calcula uma relação linear entre as variações de preço e rendimento nos títulos, na realidade, a relação entre as variações de preço e rendimento é convexa.

Na Figura 1, a linha curva representa a mudança nos preços, dada uma mudança nos rendimentos. A linha reta, tangente à curva, representa a mudança estimada de preço, por meio da estatística de duração. A área sombreada revela a diferença entre a estimativa de duração e o movimento real dos preços. Conforme indicado, quanto maior a variação nas taxas de juros, maior o erro na estimativa da variação de preço do título.

figura 1

A convexidade, uma medida da curvatura das mudanças no preço de um título, em relação às mudanças nas taxas de juros, soluciona esse erro, medindo a mudança na duração, à medida que as taxas de juros flutuam. A fórmula é a seguinte:

C = d2 (B (r)) B ∗ d ∗ r2 onde: C = convexidadeB = o avaliador da obrigação = o juro classificado = duração \ duração {alinhada} & C = \ frac {d ^ 2 \ esquerda (B \ esquerda (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {onde:} \\ & C = \ text {convexidade} \\ & B = \ text {preço do título} \\ & r = \ texto {a taxa de juros} \\ & d = \ text {duration} \\ \ end {alinhado} C = B ∗ d ∗ r2d2 (B (r)) onde: C = convexidadeB = o valor do bônus = o juro classificado = duração

Em geral, quanto maior o cupom, menor a convexidade, porque um título de 5% é mais sensível a alterações nas taxas de juros do que um título de 10%. Devido ao recurso de chamada, os títulos exigíveis exibem convexidade negativa se os rendimentos caírem muito baixo, o que significa que a duração diminuirá quando os rendimentos diminuírem. Os títulos com cupom zero têm a mais alta convexidade, onde os relacionamentos são válidos apenas quando os títulos comparados têm a mesma duração e rendem até o vencimento. Indiferentemente: um título de alta convexidade é mais sensível a mudanças nas taxas de juros e, consequentemente, deve testemunhar maiores flutuações no preço quando as taxas de juros se movem.

O oposto é verdadeiro para títulos de baixa convexidade, cujos preços não flutuam tanto quando as taxas de juros mudam. Quando representada graficamente em um gráfico bidimensional, essa relação deve gerar uma forma de U com inclinação longa (daí o termo "convexo").

Os títulos com cupom baixo e cupom zero, que tendem a ter rendimentos mais baixos, mostram a maior volatilidade da taxa de juros. Em termos técnicos, isso significa que a duração modificada do título exige um ajuste maior para acompanhar a maior mudança de preço após o movimento da taxa de juros. Taxas mais baixas de cupons levam a rendimentos mais baixos e rendimentos mais baixos levam a graus mais altos de convexidade.

(Para ler sobre alguns riscos associados a títulos exigíveis e outros, leia Recursos de chamada: não seja pego de surpresa e títulos corporativos: uma introdução ao risco de crédito .)

A linha inferior

As taxas de juros em constante mudança introduzem incerteza no investimento em renda fixa. Duração e convexidade permitem que os investidores quantifiquem essa incerteza, ajudando-os a gerenciar suas carteiras de renda fixa.

Para obter mais informações sobre investimentos em renda fixa, consulte Criando a carteira de renda fixa moderna e os erros de compra de títulos comuns .