Duração de Macaulay vs. Duração Modificada

A duração de Macaulay e a duração modificada são usadas principalmente para calcular as durações dos títulos. A duração de Macaulay calcula o tempo médio ponderado antes de um detentor de títulos receber os fluxos de caixa do título. Por outro lado, a duração modificada mede a sensibilidade ao preço de um título quando há uma mudança no rendimento até o vencimento.

A duração de Macaulay

A duração de Macaulay é calculada multiplicando o período pelo pagamento periódico do cupom e dividindo o valor resultante por 1 mais o rendimento periódico aumentado até o vencimento. Em seguida, o valor é calculado para cada período e adicionado. Em seguida, o valor resultante é adicionado ao número total de períodos multiplicado pelo valor nominal, dividido por 1, mais o rendimento periódico aumentado para o número total de períodos. Em seguida, o valor é dividido pelo preço atual do título.

Duração de Macaulay = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Preço atual dos títulos: C = pagamento periódico do cupom = rendimento periódicoM = rendimento periódico M = valor do vencimento do título = duração do título períodos \ começo {alinhado} e \ texto {Duração de Macaulay} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Preço atual dos títulos}} \\ & \ textbf {where:} \\ & C = \ text {pagamento periódico do cupom} \\ & y = \ text {rendimento periódico} \\ & M = \ text {valor de vencimento do título} \\ & n = \ text {duração do título em períodos} \\ \ end {alinhado} Duração de Macaulay = Preço atual do título (=t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) em que: C = pagamento periódico do cupom = rendimento periódicoM = vencimento do título avaliado = duração de títulos em períodos

O preço de um título é calculado multiplicando o fluxo de caixa por 1, menos 1, dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento, aumentado para o número de períodos dividido pelo rendimento exigido. O valor resultante é adicionado ao valor nominal, ou valor de vencimento, do título dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento aumentado para o número total de períodos.

Por exemplo, suponha que a duração Macaulay de um título de cinco anos com um valor de vencimento de US $ 5.000 e uma taxa de cupom de 6% seja de 4, 87 anos ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).

A duração modificada desse título, com um rendimento até o vencimento de 6% para um período de cupom, é de 4, 59 anos (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Portanto, se o rendimento até o vencimento aumentar de 6% para 7%, o a duração do título diminuirá em 0, 28 ano (4, 87 - 4, 59).

A fórmula para calcular a variação percentual no preço do título é a variação no rendimento multiplicada pelo valor negativo da duração modificada multiplicada por 100%. Essa alteração percentual resultante no título, para um aumento de 1% no rendimento, é calculada em -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).

A duração modificada

Duração modificada = Duração de Macauley (1 + YTMn) em que: YTM = rendimento até a maturidade \ begin {alinhado} & \ text {Duração de modificação} = \ frac {\ text {Duração de Macauley}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {onde:} \\ & YTM = \ text {rendimento até o vencimento} \\ & n = \ text {número de períodos de cupons por ano} \ end {alinhado} Modificado Duração = (1 + nYTM) Macauley Duração em que: YTM = rendimento até o vencimento

A duração modificada é uma versão ajustada da duração de Macaulay, responsável pela alteração do rendimento para os vencimentos. A fórmula para a duração modificada é o valor da duração de Macaulay dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento, dividido pelo número de períodos de cupom por ano. A duração modificada determina as mudanças na duração e no preço de um título para cada alteração percentual no rendimento até o vencimento.

Por exemplo, suponha que um título de seis anos tenha um valor nominal de US $ 1.000 e uma taxa de cupom anual de 8%. A duração de Macaulay é calculada em 4, 99 anos ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

A duração modificada desse título, com um rendimento até o vencimento de 8% para um período de cupom, é de 4, 62 anos (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Portanto, se o rendimento até o vencimento aumentar de 8% para 9%, o a duração do título diminuirá 0, 37 ano (4, 99 - 4, 62).

A fórmula para calcular a variação percentual no preço do título é a variação no rendimento multiplicada pelo valor negativo da duração modificada multiplicada por 100%. Essa alteração percentual resultante no título, para um aumento da taxa de juros de 8% para 9%, é calculada em -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Portanto, se as taxas de juros subirem 1% da noite para o dia, o preço do título deverá cair 4, 62%.

Swaps de duração e taxa de juros modificados

A duração modificada pode ser estendida para calcular a quantidade de anos que um swap de taxa de juros levaria para pagar o preço pago pelo swap. Um swap de taxa de juros é a troca de um conjunto de fluxos de caixa por outro e é baseado nas especificações de taxa de juros entre as partes.

A duração modificada é calculada dividindo-se o valor em dólar de uma variação de um ponto base de uma perna de swap de taxa de juros, ou série de fluxos de caixa, pelo valor presente da série de fluxos de caixa. O valor é então multiplicado por 10.000. A duração modificada para cada série de fluxos de caixa também pode ser calculada dividindo o valor em dólar de uma alteração em ponto base da série de fluxos de caixa pelo valor nocional mais o valor de mercado. A fração é então multiplicada por 10.000.

A duração modificada de ambas as partes deve ser calculada para calcular a duração modificada do swap da taxa de juros. A diferença entre as duas durações modificadas é a duração modificada do swap da taxa de juros. A fórmula para a duração modificada do swap da taxa de juros é a duração modificada da perna receptora menos a duração modificada da perna pagadora.

Por exemplo, suponha que o banco A e o banco B entrem em um swap de taxa de juros. A duração modificada da perna receptora de um swap é calculada em nove anos e a duração modificada da perna pagadora é calculada em cinco anos. A duração modificada resultante do swap da taxa de juros é de quatro anos (9 anos - 5 anos).

Comparando a duração de Macaulay e a duração modificada

Como a duração de Macaulay mede o tempo médio ponderado em que um investidor deve manter um título até o valor presente dos fluxos de caixa do título ser igual ao valor pago pelo título, ele é frequentemente usado por gerentes de títulos que buscam gerenciar o risco do portfólio de títulos com estratégias de imunização .

Por outro lado, a duração modificada identifica quanto a duração muda para cada alteração percentual no rendimento, enquanto mede o quanto uma mudança nas taxas de juros afeta o preço de um título. Assim, a duração modificada pode fornecer uma medida de risco para os investidores em títulos, aproximando quanto o preço de um título pode cair com um aumento nas taxas de juros. É importante observar que os preços dos títulos e as taxas de juros têm uma relação inversa entre si.